Để tìm các số nguyên tố \( p \) và \( q \) thoả mãn phương trình:

\[
p^2 + 6p - q^2 - 16p - 55 = 0
\]

Ta có thể viết lại phương trình như sau:

\[
p^2 - q^2 - 10p - 55 = 0
\]

Đặt \( p^2 - q^2 \) là hiệu của hai bình phương, ta có:

\[
(p - q)(p + q) - 10p - 55 = 0
\]

Sau đó, ta có thể chuyển đổi và giải phương trình theo \( q \):

\[
p^2 - 10p - 55 = q^2
\]

Chúng ta sẽ xét điều kiện cho \( q^2 \) là một số chính phương, nghĩa là:

\[
E(p) = p^2 - 10p - 55 \geq 0
\]

Giải bất phương trình \( E(p) \):

\[
p^2 - 10p - 55 = 0
\]

Áp dụng công thức nghiệm:

\[
p = \frac{10 \pm \sqrt{10^2 + 4 \cdot 55}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 220}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{320}}{2} = \frac{10 \pm 8\sqrt{5}}{2} = 5 \pm 4\sqrt{5}
\]

Tìm nghiệm gần nhất cho các số nguyên \( p \):

Kiểm tra các số nguyên tố \( p = 11, 13 \):

1. **Khi \( p = 11 \):**

\[
E(11) = 11^2 - 10 \cdot 11 - 55 = 121 - 110 - 55 = -44 \quad (không có nghiệm)
\]

2. **Khi \( p = 13 \):**

\[
E(13) = 13^2 - 10 \cdot 13 - 55 = 169 - 130 - 55 = -16 \quad (không có nghiệm)
\]

Lặp lại cho các số nguyên tố tiếp theo:

3. **Khi \( p = 17 \):**

\[
E(17) = 17^2 - 10 \cdot 17 - 55 = 289 - 170 - 55 = 64
\]
\[
q = \sqrt{64} = 8 \quad (không phải là số nguyên tố)
\]

4. **Khi \( p = 19 \):**

\[
E(19) = 19^2 - 10 \cdot 19 - 55 = 361 - 190 - 55 = 116
\quad (không phải là số chính phương)
\]

Tiếp tục cho các giá trị \( p = 23, 29 \) sẽ cho các \( q \) không phải là số nguyên tố.

Cuối cùng, kiểm tra các giá trị \( p = 3, 5, 7, 11 \):

Mỗi lần dùng:

- Chỉ cần tính
- Kiểm tra các số nguyên tố \( p\) có thể cho ra \( q \) cũng là số nguyên tố, nếu vậy sẽ có nghiệm

### Kết luận:

Sử dụng bản kiểm tra để xác nhận sự tồn tại và tính chất của \( p\) và \( q\) nhằm tìm giải thích cuối cùng với điều kiện \( q\) là số nguyên tố.

Và đây chính là cách giải quyết dần dần. Thử nghiệm từng giá trị cho tới khi tìm thấy \( (p, q) \) thỏa mãn điều kiện này.