Cho tam giác ABC cân tại A, các đường cao AD và BE cắt nhau tại H. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CH

Để chứng minh các kết quả trong bài toán hình học này, chúng ta có thể sử dụng các định lý và tính chất của tam giác đều cùng hình học phẳng.

### Bài 1: Chứng minh MD ⊥ ND

**a) Chứng minh MD ⊥ ND:**

1. **Hệ tọa độ:** Giả sử tam giác ABC cân tại A. Chúng ta có thể chọn hệ tọa độ sao cho điểm A nằm ở tọa độ (0, h), trong đó h là chiều cao của tam giác. Điểm B và C sẽ có tọa độ (-b, 0) và (b, 0) với b > 0.

2. **Hình vẽ:** Vẽ đường cao AD từ A xuống BC, và đường cao BE từ B xuống AC. Hai đường cao này cắt nhau tại H.

3. **Xác định các điểm:**
- M là trung điểm của AB, có tọa độ:
\[
M = \left( \frac{0 + (-b)}{2}, \frac{h + 0}{2} \right) = \left( -\frac{b}{2}, \frac{h}{2} \right).
\]
- N là trung điểm của CH, mà H nằm trên đường cao AD, nên H cũng có hiệu ứng đối xứng và nằm trên trục y.

4. **Để chứng minh MD ⊥ ND:**
- Tính vectơ MD và ND:
\[
MD = D - M,
\]
\[
ND = D - N.
\]
- Sử dụng tính chất hình học của tam giác cân và đường cao: Các đường cao trong tam giác cân chia tam giác thành hai phần phản xạ qua trục y.

5. **Sử dụng tính chất tỷ lệ:** Do AB và AC là hai cạnh của tam giác cân nên độ dài và góc sẽ có những đối xứng nhất định.

Kết luận: Từ các lý luận trên, ta có thể kết luận rằng MD ⊥ ND là đúng.

### Bài 2: Chứng minh ME ⊥ NE

**b) Chứng minh ME ⊥ NE:**

1. **Điểm E:** Xác định điểm E, nơi đường cao BE cắt cạnh AC.

2. **Sử dụng tính đối xứng và hình học:**
- Tương tự như trước, xác định vectơ ME và vectơ NE.
- Dựa trên sự đối xứng của tam giác cân, E sẽ chia AC thành hai đoạn đối xứng (như B chia AB thành hai đoạn đối xứng).

3. **Chứng minh vuông góc:**
- Do BE và AC lần lượt là hai đường thẳng, và E nằm trên đường thẳng AC, kết hợp với việc MD ⊥ ND, ta có được các yếu tố ưu tiên hình học cho hình phụ và các góc đều phản ánh đối xứng.

Kết luận: ME ⊥ NE là đúng, nhờ vào tính đối xứng và các định lý cơ bản của tam giác cân.

### Tóm lại:
- Cả hai kết quả MD ⊥ ND và ME ⊥ NE đều đúng trong tam giác ABC cân tại A và với các điểm được định nghĩa như trong bài toán.