Để tìm số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện:

1. Chia 3 dư 1:
\( x \equiv 1 \mod 3 \)

2. Chia 4 dư 2:
\( x \equiv 2 \mod 4 \)

3. Chia 6 dư 4:
\( x \equiv 4 \mod 6 \)

4. Chia hết cho 11:
\( x \equiv 0 \mod 11 \)

Chúng ta sẽ giải từng điều kiện một.

### Bước 1: Giải hệ phương trình điều kiện

Từ điều kiện 1 và 2, chúng ta sẽ giải \(x\).

- Từ điều kiện \(x \equiv 1 \mod 3\), có thể viết là \(x = 3k + 1\) cho một số nguyên \(k\).
- Thay vào điều kiện 2:
\[
3k + 1 \equiv 2 \mod 4 \implies 3k \equiv 1 \mod 4
\]
- Tìm \(k\) thỏa mãn \(3k \equiv 1 \mod 4\). Ta thử các giá trị của \(k\):
- \(k = 0 \Rightarrow 3 \cdot 0 \equiv 0 \mod 4\)
- \(k = 1 \Rightarrow 3 \cdot 1 \equiv 3 \mod 4\)
- \(k = 2 \Rightarrow 3 \cdot 2 \equiv 2 \mod 4\)
- \(k = 3 \Rightarrow 3 \cdot 3 \equiv 1 \mod 4\)

Vậy \(k \equiv 3 \mod 4\), tức là \(k = 4m + 3\) cho một số nguyên \(m\).

Thay \(k\) vào phương trình của \(x\):
\[
x = 3(4m + 3) + 1 = 12m + 9 + 1 = 12m + 10
\]
Vậy:
\[
x \equiv 10 \mod 12
\]

### Bước 2: Cập nhật điều kiện từ chia 6 và 11

Từ điều kiện 3:
\[
x \equiv 4 \mod 6
\]
Thay \(x = 12m + 10\) vào điều kiện này:
\[
12m + 10 \equiv 4 \mod 6 \implies 0m + 4 \equiv 4 \mod 6
\]
Điều này luôn đúng.

### Bước 3: Kết hợp với điều kiện chia hết cho 11

Bây giờ kết hợp với điều kiện cuối cùng:
\[
x \equiv 0 \mod 11
\]
Từ đó, ta có hệ:
\[
12m + 10 \equiv 0 \mod 11
\]
Giải phương trình này:
\[
12m + 10 \equiv 0 \mod 11 \implies m + 10 \equiv 0 \mod 11 \implies m \equiv 1 \mod 11
\]
Vết tắt \(m = 11n + 1\) với \(n\) là số nguyên.

### Bước 4: Thay lại

Thay \(m\) vào \(x\):
\[
x = 12(11n + 1) + 10 = 132n + 12 + 10 = 132n + 22
\]
Vậy:
\[
x \equiv 22 \mod 132
\]

### Bước 5: Tìm giá trị nhỏ nhất

Số nhỏ nhất khi \(n = 0\) là:
\[
x = 22
\]

### Kết luận

Số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn tất cả các điều kiện là:
\[
\boxed{22}
\]