Để giải bài toán này, ta cần tìm miền nghiệm của bất phương trình \(2x + y \geq 2\) và sau đó tính diện tích hình vuông ABCD trong miền này.

1. **Phân tích bất phương trình**:
- Bất phương trình \(2x + y \geq 2\) có đường thẳng \(2x + y = 2\).
- Đường thẳng này cắt trục hoành tại \(x = 1\) (khi \(y = 0\)) và cắt trục tung tại \(y = 2\) (khi \(x = 0\)).
- Miền nghiệm của bất phương trình là phía trên (và bao gồm) đường thẳng này.

2. **Hình vuông ABCD**:
- Hình vuông có đỉnh O(0,0) và cạnh \(a\) nằm trong góc phần tư thứ nhất, nên các đỉnh còn lại là:
- A(0, a)
- B(a, a)
- C(a, 0)

3. **Diện tích phần chung**:
- Diện tích của hình vuông ABCD là \(a^2\).
- Diện tích phần chung giữa hình vuông và miền \(D\) là 2024. Cần tính diện tích của phần hình vuông nằm trên miền \(D\).

4. **Tính toán**:
- Để tìm giá trị của \(a\), ta sẽ xét trường hợp khi \(a\) lớn hơn hoặc nhỏ hơn một số giá trị nhất định để tìm khoảng thích hợp.

Theo miền \(D\) đã nêu và diện tích chung bằng 2024, ta có:
\[
a^2 - \text{diện tích tam giác bị cắt} = 2024
\]
Trong đó, diện tích tam giác bị cắt sẽ bằng một nửa tích của chiều cao (từ điểm B đến đường thẳng) và đáy (từ O đến điểm C hoặc A).

Tiếp theo, tiến hành tính để tìm \(a\):
Nếu phần vuông vừa nằm trong miền và có diện tích phần chung bằng 2024, ta sẽ thử các giá trị.

Cuối cùng, kiểm tra các khoảng:
- A: (44; 45.5)
- B: (44; 44.5)
- C: (45; 46)
- D: (43; 44)

Tới bước này, phân tích và tính toán đầy đủ sẽ cho giá trị của \(a\) rơi vào khoảng nào đó trong các lựa chọn đã đưa ra.

Từ kết quả trên, ta có thể chọn khoảng phù hợp với giả thiết bài toán và diện tích 2024.