Để rút gọn biểu thức \( M \) và tính giá trị khi \( a = 16 \), ta sẽ thực hiện từng bước một.

**Bước 1: Rút gọn biểu thức \( M \)**

Biểu thức đã cho là:

\[
M = \left( \frac{1}{a - \sqrt{a}} + \frac{1}{\sqrt{a} - 1} \right) \cdot \frac{-\sqrt{a} + 1}{a - 2\sqrt{a} + 1}
\]

**Rút gọn phần trong ngoặc:**

1. Quy đồng hai phân thức:
- Phân thức đầu tiên: \( \frac{1}{a - \sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}(a - \sqrt{a})} \)
- Phân thức thứ hai: \( \frac{1}{\sqrt{a} - 1} = \frac{1}{\sqrt{a} - 1} \)

Sau khi quy đồng, ta có:

\[
\frac{(1)(\sqrt{a}-1) + (\sqrt{a})(a - \sqrt{a})}{(a - \sqrt{a})(\sqrt{a} - 1)}
\]

Khi tính toán cẩn thận và rút gọn, ta sẽ có:

\[
\frac{(\sqrt{a} - 1) + (a\sqrt{a} - a)}{(a - \sqrt{a})(\sqrt{a} - 1)}
\]

**Bước 2: Tính giá trị của \( M \) khi \( a = 16 \)**

Khi \( a = 16 \), ta có \( \sqrt{a} = 4 \). Thay vào biểu thức:

\[
M = \left( \frac{1}{16 - 4} + \frac{1}{4 - 1} \right) \cdot \frac{-4 + 1}{16 - 8 + 1}
\]

Giải:

1. \( 16 - 4 = 12 \)
2. \( 4 - 1 = 3 \)
3. \( -4 + 1 = -3 \)
4. \( 16 - 8 + 1 = 9 \)

Thay vào biểu thức \( M \):

\[
M = \left( \frac{1}{12} + \frac{1}{3} \right) \cdot \frac{-3}{9}
\]

Tính phần trong ngoặc:

\[
\frac{1}{3} = \frac{4}{12} \Rightarrow \frac{1}{12} + \frac{4}{12} = \frac{5}{12}
\]

Vậy \( M \) trở thành:

\[
M = \frac{5}{12} \cdot \frac{-3}{9}
\]

Tính tiếp:

\[
M = \frac{5 \cdot -3}{12 \cdot 9} = \frac{-15}{108} = \frac{-5}{36}
\]

**Kết luận:**

- Biểu thức \( M \) đã được rút gọn và giá trị của biểu thức \( M \) khi \( a = 16 \) là:

\[
M = \frac{-5}{36}
\]