Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( S = x^2 + y^2 \) với điều kiện \( x + y = 2 \), chúng ta có thể sử dụng một số phương pháp khác nhau. Một trong số đó là sử dụng phương pháp thay thế.

Từ điều kiện \( x + y = 2 \), ta có \( y = 2 - x \). Thay \( y \) vào biểu thức \( S \):

\[
S = x^2 + y^2 = x^2 + (2 - x)^2
\]

Giải bỏ \( (2 - x)^2 \):

\[
S = x^2 + (2 - x)^2 = x^2 + (4 - 4x + x^2) = 2x^2 - 4x + 4
\]

Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( S \), ta sẽ tìm đạo hàm và giải phương trình đạo hàm bằng 0.

Tính đạo hàm của \( S \):

\[
S' = 4x - 4
\]

Đặt \( S' = 0 \):

\[
4x - 4 = 0 \implies x = 1
\]

Khi \( x = 1 \), ta có \( y = 2 - 1 = 1 \).

Tính giá trị của \( S \) tại \( x = 1 \):

\[
S = 1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2
\]

Để chắc chắn rằng đây là giá trị nhỏ nhất, ta xét dấu của đạo hàm bậc nhất:

- Nếu \( x < 1 \), \( S' < 0 \) (S giảm).
- Nếu \( x > 1 \), \( S' > 0 \) (S tăng).

Như vậy, \( S \) đạt giá trị nhỏ nhất tại \( x = 1 \).

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( S = x^2 + y^2 \) khi \( x + y = 2 \) là:

\[
\boxed{2}
\]