Chúng ta sẽ chứng minh từng phần theo yêu cầu:

### a) Chứng minh \( BE = DF \) và \( \angle ABE = \angle CDF \)

1. **Chứng minh \( BE = DF \)**:
- Gọi \( O \) là trung điểm của \( AB \) và \( C \).
- Trong hình bình hành \( ABCD \), ta có \( AB \parallel CD \) và \( AD \parallel BC \).
- Vì \( E \) là trung điểm của \( AD \) và \( F \) là trung điểm của \( BC \), chúng ta thấy rằng:
- \( AE = ED \) và \( BF = FC \).
- Sử dụng đồng dạng:
- Tam giác \( ABE \) và tam giác \( CDF \) có \( AE = ED \) (do E là trung điểm của AD) và \( BF = FC \) (do F là trung điểm của BC).
- Do đó, \( BE = DF \).

2. **Chứng minh \( \angle ABE = \angle CDF \)**:
- Vì \( AB \parallel CD \), ta có:
- \( \angle ABE = \angle CDF \) (các góc so le trong).

### b) Chứng minh \( BE \parallel FD \)

- Từ phần a, chúng ta đã thiết lập rằng \( AB \parallel CD \) và từ \( E \) là trung điểm của \( AD \), \( F \) là trung điểm của \( BC \).
- Vậy \( BE \) và \( FD \) cùng nằm trong tam giác tương ứng \( ABE \) và \( CDF \) đã được chứng minh cùng tỉ số.
- Hơn nữa, \( \angle ABE = \angle CDF \) cho thấy \( BE \parallel FD \) (các đường thẳng cắt nhau tạo thành hai góc đồng vị bằng nhau).

Vậy chúng ta đã hoàn thành việc chứng minh cả hai phần a và b.