Cho tứ diện ABCD có các điểm M và N lần lượt là trung điểm của AC và DC, P thuộc cạnh BC thỏa mãn PD = 3PB, xác định giao tuyến của (MNP) với A, (CBD) và B, (ABC) với C

Để xác định giao tuyến của mặt phẳng \((MNP)\) với các mặt phẳng \((ABD)\) và \((ABC)\), bạn có thể làm theo các bước sau:

1. **Tìm tọa độ của các điểm**:
- Giả sử \(A = (0, 0, 0)\), \(B = (1, 0, 0)\), \(C = (0, 1, 0)\), \(D = (0, 0, 1)\).
- Tọa độ trung điểm \(M\) của \(AC\) là:
\[
M = \left(\frac{0 + 0}{2}, \frac{0 + 1}{2}, \frac{0 + 0}{2}\right) = \left(0, \frac{1}{2}, 0\right)
\]
- Tọa độ trung điểm \(N\) của \(DC\) là:
\[
N = \left(\frac{0 + 0}{2}, \frac{0 + 1}{2}, \frac{1 + 0}{2}\right) = \left(0, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)
\]
- Gọi \(P\) thuộc cạnh \(BC\) thỏa mãn \(PD = 3PB\). Nếu \(P\) chia đoạn \(BC\) theo tỉ lệ \(3:1\), tọa độ của \(P\) sẽ là:
\[
P = \left(0, \frac{1}{4}, 0\right) \text{ (thay } PB = \frac{1}{4}, PD = \frac{3}{4})
\]

2. **Viết phương trình mặt phẳng \((MNP)\)**:
- Vector \( \overrightarrow{MN} = N - M = \left(0, 0, \frac{1}{2}\right) - \left(0, \frac{1}{2}, 0\right) = \left(0, 0, \frac{1}{2}\right)\)
- Vector \( \overrightarrow{MP} = P - M = \left(0, \frac{1}{4}, 0\right) - \left(0, \frac{1}{2}, 0\right) = \left(0, -\frac{1}{4}, 0\right)\)
- Ta có 3 điểm \(M, N, P\), có thể sử dụng công thức mặt phẳng qua 3 điểm hoặc định nghĩa lại phương trình mặt phẳng hữu tỷ.

3. **Tìm giao tuyến của mặt phẳng \((MNP)\) với các mặt phẳng khác**:
- Mặt phẳng \((ABC)\) có phương trình:
\[
z = 0 \text{ (đi qua các điểm } A, B, C).
\]
- Mặt phẳng \((ABD)\) có phương trình:
\[
x = 0 \text{ (đi qua các điểm } A, B, D).
\]
- Tối ưu nhất là tìm các phương trình và tìm giao điểm từ ở đây, thông qua việc thế các phương trình với các dữ liệu đã biết.

### Để tìm giao tuyến, cụ thể:
- Sau khi tính toán và tìm phương trình như trên, bạn sẽ cần thực hiện phép tính hình học để xác định CGRect,.

Hy vọng đây là hướng dẫn hữu ích cho bạn về cách tiếp cận bài toán này.