Để chứng minh \(\angle ABD = \angle ACD\) và \(AD\) là phân giác của \(\angle BAC\), ta có thể thực hiện các bước sau:

a) **Chứng minh \(\angle ABD = \angle ACD\)**:

1. Vì \(D\) là điểm trên cạnh \(BC\) nên có thể sử dụng định nghĩa các góc tạo thành từ hai đoạn thẳng.
2. Nếu \(AD\) cắt \(BC\) tại \(D\) và \(I\) là trung điểm của \(BC\), ta có hai tam giác \(ABD\) và \(ACD\).
3. Nếu \(AB = AC\) (căn cứ vào điều kiện của tam giác đều hoặc cân), thì có thể áp dụng theo định lý về góc đối đỉnh hoặc tam giác cân.

b) **Chứng minh \(AD\) là phân giác của \(\angle BAC\)**:

1. Khi đã chứng minh được \(\angle ABD = \angle ACD\), ta có thể suy ra rằng \(AD\) chia \( \angle BAC \) thành hai góc bằng nhau, tức là \(AD\) là phân giác.

c) **Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC\)**:

1. Nếu \(I\) là trung điểm \(BC\), ta có \(BI = IC\), từ đó áp dụng các định lý trong tam giác để tiếp tục chứng minh rằng các đoạn thẳng liên quan đến \(I\) cũng tạo thành các cặp góc bằng nhau.

d) **Chứng minh \(\angle BID = \angle CID\) và \(DI \perp BC\)**:

1. Xét hai tam giác \(BID\) và \(CID\):
- Sử dụng thông tin về các cạnh và góc trong tam giác để chứng minh rằng chúng bằng nhau.
- Nếu \(DI \perp BC\), thì \(\angle BID + \angle CID = 90^\circ\).

Kết luận: Qua các chứng minh trên, ta có thể khẳng định rằng \(\angle ABD = \angle ACD\) và \(AD\) là phân giác của \(\angle BAC\).