Để chứng tỏ rằng các đa thức sau không có nghiệm, chúng ta sẽ phân tích từng đa thức một:

a) \( f(x) = x^2 + 4 \)

- Đa thức này có thể viết lại thành \( f(x) = x^2 + 4 \).
- Đối với mọi \( x \), \( x^2 \) luôn không âm (tức là \( x^2 \geq 0 \)).
- Do đó, \( f(x) = x^2 + 4 \geq 4 > 0 \).
- Vì vậy, \( f(x) \) không bao giờ bằng 0, tức là không có nghiệm.

b) \( g(x) = 10^2 + \frac{3}{4} \)

- Tính toán giá trị này: \( 10^2 = 100 \) và \( \frac{3}{4} \) là một số dương.
- Vậy \( g(x) = 100 + \frac{3}{4} = 100.75 \).
- Hàm này không phụ thuộc vào \( x \) và luôn dương, do đó không có nghiệm.

c) \( h(x) = (x-1)^2 + 7 \)

- Đa thức này có thể viết lại là \( h(x) = (x-1)^2 + 7 \).
- Tương tự như (a), \( (x-1)^2 \geq 0 \) với mọi \( x \).
- Do đó, \( h(x) = (x-1)^2 + 7 \geq 7 > 0 \).
- Vì vậy, \( h(x) \) không bao giờ bằng 0, tức là không có nghiệm.

d) \( k(x) = x^2 + (x - 1)^2 \)

- Ta có thể viết \( (x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1 \).
- Vậy \( k(x) = x^2 + (x^2 - 2x + 1) = 2x^2 - 2x + 1 \).
- Phân tích giá trị này: Sử dụng định lý nghiệm để xác định vị trí nghiệm.
- Hệ số \( 2 > 0 \) nên đồ thị là một parabol mở lên.
- Để xác định điều kiện tồn tại nghiệm, ta tính delta (\( \Delta \)):
\[
\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 4 - 8 = -4.
\]
- Delta âm cho thấy rằng không có nghiệm thực cho phương trình \( k(x) = 0 \).

Tóm lại, các đa thức đã cho đều không có nghiệm thực.