Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( M = x^2 + 6y^2 + 2y + 36 - 12x - 2xy \), ta có thể sử dụng phương pháp hoàn thành bình phương hoặc phương trình vừa đổi biến.

### Bước 1: Sắp xếp lại biểu thức

Ta đặt lại biểu thức:

\[
M = x^2 - 12x - 2xy + 6y^2 + 2y + 36
\]

### Bước 2: Hoàn thành bình phương

Ta trước tiên hoàn thành bình phương cho phần \( x \):

\[
x^2 - 12x = (x - 6)^2 - 36
\]

Thay vào biểu thức:

\[
M = (x - 6)^2 - 36 - 2xy + 6y^2 + 2y + 36
\]
\[
= (x - 6)^2 - 2xy + 6y^2 + 2y
\]

### Bước 3: Tìm cực trị của phần còn lại

Giờ ta xem xét phần còn lại:

\[
-2xy + 6y^2 + 2y
\]

### Bước 4: Tính đạo hàm để tìm điểm cực trị

Ta áp dụng đạo hàm theo \( y \):

\[
\frac{\partial}{\partial y}(-2xy + 6y^2 + 2y) = -2x + 12y + 2
\]

Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm \( y \):

\[
-2x + 12y + 2 = 0 \implies 12y = 2x - 2 \implies y = \frac{x - \frac{1}{6}}{6}
\]

### Bước 5: Thay vào M để tìm giá trị

Thay \( y \) vào \( M \) để tính giá trị chính xác và tìm giá trị nhỏ nhất.

### Bước 6: Tính giá trị nhỏ nhất

Hoặc bạn có thể tối ưu hóa trực tiếp bằng Excel hoặc các phần mềm khác cho chính xác hơn. Phương pháp trên chỉ là hướng giải quyết cho phần đại số.

### Kết luận

Do đó, giá trị nhỏ nhất của \( M \) sẽ được tính ra thông qua những bước này. Bạn có thể thực hiện thay và tính toán theo các bước được mô tả để có giá trị cụ thể.