Để chứng minh các phần của bài toán, ta thực hiện như sau:

### a) Chứng minh các tứ giác MNPQ, INKQ là hình bình hành.

**Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành:**
1. Xét tứ giác ABCD, có M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA.
2. Theo định lý về trung điểm, điểm M và điểm P là trung điểm của AB và CD nên ta có:
- \( MP \parallel AD \) và \( MP = \frac{1}{2}AD \).
3. Tương tự, vì N và Q là trung điểm của BC và DA, nên:
- \( NQ \parallel AB \) và \( NQ = \frac{1}{2}AB \).
4. Vì \( MP \parallel NQ \) và \( MP = NQ \), nên MNPQ là hình bình hành.

**Chứng minh tứ giác INKQ là hình bình hành:**
1. I và K là trung điểm của AC và BD.
2. Do đó, điểm I và K sẽ nằm trên đường chéo và cũng là các trung điểm, nên:
- \( IK \parallel MN \) và \( IK = \frac{1}{2}MN \).
3. Tương tự, từ việc MNPQ là hình bình hành, suy ra \( MN \parallel PQ \).
4. Suy ra INKQ cũng là hình bình hành vì \( IK \parallel PQ \) và \( IK = PQ \).

### b) Chứng minh các đường thẳng MP, NQ, IK đồng quy.

1. Từ phần (a), ta đã có MNPQ và INKQ là hình bình hành. Theo định lý tứ giác đồng vị, ta có:
- Đường chéo của hình bình hành cắt nhau ở trung điểm.
2. Đường chéo MP sẽ cắt đường chéo NQ và IK tại một điểm duy nhất, do đó chúng đồng quy.

Từ các lập luận trên, ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán.