Để giải quyết bài toán, ta sẽ sử dụng một số định lý và công thức trong hình học.

#### Dưới đây là các thông tin đã cho:
- Góc A = 30°
- Góc B = 45°
- Độ dài cạnh BC = 8 cm

Trước tiên, chúng ta có thể tính góc C:
- Góc C = 180° - góc A - góc B = 180° - 30° - 45° = 105°

Bây giờ, ta sẽ sử dụng định lý Sine để tính độ dài các cạnh AB và AC.

### a. Tính AB

Sử dụng định lý Sin:
\[
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}
\]
Trong đó:
- a = BC = 8 cm
- b = AC
- c = AB

Áp dụng công thức cho cạnh BC:
\[
\frac{8}{\sin C} = \frac{AB}{\sin B}
\]
Tính giá trị sin:
- \(\sin A = \sin 30° = \frac{1}{2}\)
- \(\sin B = \sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
- \(\sin C = \sin 105° = \sin(90° + 15°) = \cos 15° = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\)

Áp dụng vào công thức:
\[
\frac{8}{\sin 105°} = \frac{AB}{\sin 45°}
\]
Giải phương trình trên:
\[
AB = \frac{8 \cdot \sin 45°}{\sin 105°}
\]
\[
AB = \frac{8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{8\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{4}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = \frac{16\sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} \approx 9.24 \text{ cm}
\]

### b. Tính AC

Tương tự, tính AC:
\[
\frac{8}{\sin 105°} = \frac{AC}{\sin 30°}
\]
Khi giải phương trình:
\[
AC = \frac{8 \cdot \sin 30°}{\sin 105°}
\]
\[
AC = \frac{8 \cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{4 \cdot 4}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = \frac{16}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} \approx 5.36 \text{ cm}
\]

### c. Tính diện tích của tam giác ABC

Diện tích \(S\) của tam giác có thể được tính bằng công thức:
\[
S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin C
\]
Tính diện tích:
\[
S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin 105°
\]

Áp dụng giá trị vừa tìm được:
\[
S = \frac{1}{2} \cdot 9.24 \cdot 5.36 \cdot \sin 105°
\]

Giá trị diện tích sẽ cho ta diện tích thực tế khi ta thay vào.
Tính giá trị cụ thể sẽ cho ra diện tích \(S \approx 22.04 \text{ cm}^2\).

### Kết luận

- AB ≈ 9.24 cm
- AC ≈ 5.36 cm
- Diện tích S ≈ 22.04 cm²