Cho a, b, c > 0 thỏa mãn 5a + 5b + 5c + ab + bc + ac = 18. Chứng minh a^2 + b^2 + c^2 ≥ 3

Để chứng minh bất đẳng thức \( a^2 + b^2 + c^2 \geq 3 \) với giả thiết \( 5a + 5b + 5c + ab + ac + bc = 18 \) (có \( a, b, c > 0 \)), chúng ta có thể thực hiện các bước sau:

1. **Ghi nhận điều kiện**: Ta có \( 5(a+b+c) + (ab + ac + bc) = 18 \). Đặt \( S = a + b + c \) và \( P = ab + ac + bc \). Khi đó, ta có:
\[
5S + P = 18
\]

2. **Thay \( P \) vào điều kiện**: Từ điều kiện trên, ta có:
\[
P = 18 - 5S
\]
với điều kiện \( P \geq 0 \), dẫn đến:
\[
18 - 5S \geq 0 \Rightarrow S \leq \frac{18}{5} = 3.6
\]

3. **Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz**: Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho ba số dương \( a, b, c \):
\[
(a^2 + b^2 + c^2)(1 + 1 + 1) \geq (a + b + c)^2
\]
từ đó có:
\[
a^2 + b^2 + c^2 \geq \frac{(a+b+c)^2}{3} = \frac{S^2}{3}
\]

4. **Khám phá giá trị của \( S \)**: Theo điều kiện \( P = ab + ac + bc = 18 - 5S \), và từ bất đẳng thức AM-GM:
\[
ab + ac + bc \leq \frac{(a+b+c)^2}{3} = \frac{S^2}{3}
\]
=> từ đó suy ra:
\[
18 - 5S \leq \frac{S^2}{3}
\]
=> từ đây ta có:
\[
S^2 + 15S - 54 \geq 0
\]

5. **Giải phương trình bậc hai**: Tính nghiệm của phương trình:
\[
S^2 + 15S - 54 = 0
\]
Sử dụng công thức nghiệm:
\[
S = \frac{-15 \pm \sqrt{15^2 + 4 \times 54}}{2} = \frac{-15 \pm \sqrt{225 + 216}}{2} = \frac{-15 \pm \sqrt{441}}{2} = \frac{-15 \pm 21}{2}
\]
Từ đó ta có 2 nghiệm là:
\[
S = \frac{6}{2} = 3 \quad \text{và} \quad S = \frac{-36}{2} = -18 \quad (\text{không hợp lệ vì } S > 0)
\]

6. **Xét điều kiện \( S \)**: Vì \( S \leq 3.6 \) và \( S \geq 3 \), suy ra:
\[
S = 3
\]

7. **Tính \( P \)**: Khi \( S = 3 \), cả bên của điều kiện \( P = 18 - 5S = 18 - 15 = 3 \).
Mặt khác, từ bất đẳng thức AM-GM:
\[
ab + ac + bc \geq 3 \sqrt[3]{a^2b^2c^2}
\]

8. **Kết luận**: Khi \( S = 3 \) và \( P = ab + ac + bc = 3 \), sử dụng lại bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, xảy ra khi \( a = b = c = 1 \). Từ đó, ta có được:
\[
a^2 + b^2 + c^2 = 1^2 + 1^2 + 1^2 = 3
\]
Do đó:
\[
a^2 + b^2 + c^2 \geq 3
\]

Vậy ta đã chứng minh xong, \( a^2 + b^2 + c^2 \geq 3 \).