Để giải bài toán, ta sẽ sử dụng định lý Cosine để tính các góc \( A \), \( B \), và \( C \) của tam giác \( ABC \), rồi tính diện tích của tam giác bằng công thức Heron.

**a) Tính số đo các góc A, B, C:**

1. **Tính góc A**:

Sử dụng định lý Cosine:
\[
\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}
\]
Trong đó \( a = BC = 20 \), \( b = AC = 15 \), \( c = AB = 12 \):
\[
\cos A = \frac{15^2 + 12^2 - 20^2}{2 \cdot 15 \cdot 12} = \frac{225 + 144 - 400}{360} = \frac{-31}{360}
\]
\[
A = \cos^{-1}\left(-\frac{31}{360}\right) \approx 108.67^\circ
\]

2. **Tính góc B**:

\[
\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}
\]
\[
\cos B = \frac{20^2 + 12^2 - 15^2}{2 \cdot 20 \cdot 12} = \frac{400 + 144 - 225}{480} = \frac{319}{480}
\]
\[
B = \cos^{-1}\left(\frac{319}{480}\right) \approx 47.37^\circ
\]

3. **Tính góc C**:

Sử dụng tổng ba góc trong tam giác:
\[
C = 180^\circ - A - B \approx 180^\circ - 108.67^\circ - 47.37^\circ \approx 23.96^\circ
\]

**b) Tính diện tích tam giác ABC:**

Sử dụng công thức Heron để tính diện tích:
\[
s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{20 + 15 + 12}{2} = 23.5
\]
\[
\text{Diện tích} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{23.5(23.5 - 20)(23.5 - 15)(23.5 - 12)}
\]
\[
= \sqrt{23.5 \cdot 3.5 \cdot 8.5 \cdot 11.5}
\]
Tính giá trị này sẽ cho ta diện tích tam giác \( ABC \).

Thực hiện tính toán bằng máy tính:
\[
23.5 \cdot 3.5 \cdot 8.5 \cdot 11.5 \approx 6991.4375
\]
\[
\text{Diện tích} \approx \sqrt{6991.4375} \approx 83.5
\]

Vậy, kết quả cuối cùng là:
- Tầng số đo góc: \( A \approx 108.67^\circ, B \approx 47.37^\circ, C \approx 23.96^\circ \)
- Diện tích tam giác \( ABC \approx 83.5 \) đơn vị diện tích.