Rút gọn biểu thức: ( x + y )² - 3xy( x + y ) + ( y - x )( y² + xy + x²)

Để rút gọn biểu thức \(( x + y )^2 - 3xy( x + y ) + ( y - x )( y^2 + xy + x^2)\), chúng ta sẽ thực hiện từng bước một.

Bước 1: Tính \((x + y)^2\):
\[
(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2
\]

Bước 2: Tính \(-3xy( x + y )\):
\[
-3xy( x + y ) = -3xy \cdot x - 3xy \cdot y = -3x^2y - 3xy^2
\]

Bước 3: Tính \((y - x)(y^2 + xy + x^2)\):
Ta nhân các hạng tử:
\[
(y - x)(y^2 + xy + x^2) = y(y^2 + xy + x^2) - x(y^2 + xy + x^2)
\]
\[
= y^3 + y^2x + yx^2 - xy^2 - x^2y - x^3 = y^3 - x^3 + y^2x - xy^2 + yx^2 - x^2y
\]
Vì \(y^2x - xy^2 + yx^2 - x^2y = 0\) (do hai hạng này bằng nhau và ngược dấu).
Vậy:
\[
(y - x)(y^2 + xy + x^2) = y^3 - x^3
\]

Bước 4: Kết hợp tất cả các thành phần lại:
\[
(x + y)^2 - 3xy( x + y ) + (y - x)(y^2 + xy + x^2)
\]
\[
= (x^2 + 2xy + y^2) + (-3x^2y - 3xy^2) + (y^3 - x^3)
\]
\[
= x^2 + 2xy + y^2 - 3x^2y - 3xy^2 + y^3 - x^3
\]

Bước 5: Sắp xếp lại các hạng tử:
\[
= -x^3 + y^3 + x^2 + y^2 + 2xy - 3x^2y - 3xy^2
\]
\[
= -x^3 + y^3 + x^2 + y^2 + 2xy - 3xy(x + y)
\]

Đây là biểu thức đã rút gọn của kết quả.

### Vì vậy, biểu thức đã rút gọn là:
\[
-y^3 + x^3 + x^2 + y^2 + 2xy - 3xy(x + y)
\]