a, Ta có:

∠AMB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

=> ∠DMC = 900

∠ANB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

=> ∠DNC = 900

Xét tứ giác MCND có:

∠DMC + ∠DNC = 900 + 900 = 1800

=> Tứ giác MCDN là tứ giác nội tiếp

Do ∠DMC = 900 nên DC là đường kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCDN

Do đó tâm I của đường tròn ngoại tiếp tứ giác là trung điểm I của DC

b, Xét tam giác CAB có:

AN ⊥ BC

BM ⊥ AC

AN giao với BM tại H

=> H là trực tâm của tam giác CAB

=> CH ⊥ BA

Xét ΔCHB và ΔBNA có:

∠CBA là góc chung

∠CHB = ∠ANB = 900

=>ΔCHB ∼ ΔANB

=> BCBA = BHBN

=>BN.BC = BA.BH

c, Xét tam giác HDB vuông tại H có:

∠BDH + ∠DBH = 900 (1)

Xét tam giác IDM cân tại I (ID = IM )

=> ∠IMD = ∠IDM

Mà ∠IDM = ∠BDH (đối đỉnh)

=> ∠IMD = ∠BDH (2)

Mặt khác tam giác OBM cân tại O ( OB = OM)

=> ∠OMB = ∠DBH (3)

Từ (1); (2) và (3)

=> ∠IMD + ∠OMB = ∠BDH + ∠DBH = 900

=> ∠IMO = 900

d, Xét tam giác BAN vuông tại N có:

∠NAB = 300 => ∠NBA = 600

Xét tam giác CHB vuông tại H có ∠NBA = 600

=> BH = CH.cot600 = CH3

Lại có: Tam giác CHA vuông tại H có ∠CAH = 450

=> Tam giác CHA vuông cân tại H => CH = HA

Ta có:

AB = HA + HB = CH + CH3 = 3+13CH

=> 3+13CH = 2R => CH = R33-1

Diện tích tam giác ABC là:

SABC = 12.CH.AB = 12. R33-1.2R = R233-1