Ta có: ADBD=CEEA⇒ADAB=ECCA

Từ E kẻ đường thẳng song song với AB cắt BC tại F (EF // BC)

Theo định lý ta-lét ta có: EFAB=CECA

Suy ra: EFAB=ADAB⇒EF=AD

Lại có: EF // AB nên EF // AD

Suy ra: ADFE là hình bình hành

Mà ADFE là hình bình hành có M là trung điểm của đường chéo DE nên M cũng là trung điểm của AF

Gọi I, J lần lượt là trung điểm AB, AC

Suy ra: IJ là đường trung bình của tam giác ABC

⇒ IJ // BC (1)

Tam giác ABF có I là trung điểm AB, M là trung điểm AF nên IM là đường trung bình của tam giác ABF

⇒ IM // BC (2)

Từ (1) và (2): I, M, J thẳng hàng

Vậy M nằm trên IJ

Mà tam giác ABC cố định, nên IJ cố định, vậy M cố định.