Để chứng minh rằng số hữu tỉ \( \frac{2m+9}{14m+62} \) là phân số tối giản với mọi \( m \in \mathbb{N} \), ta cần chứng minh rằng tử số và mẫu số của phân số này không có ước chung lớn hơn 1.

1. **Tử số**: \( 2m + 9 \)
2. **Mẫu số**: \( 14m + 62 \)

Chúng ta có thể phân tích mẫu số:

\[
14m + 62 = 14m + 14 \cdot 4 = 14(m + 4)
\]

Ta có thể thấy rằng mẫu số có thể được biểu diễn dưới dạng \( 14(m + 4) \).

3. **Tìm ước chung của tử và mẫu**:

Để chứng minh rằng tử và mẫu số không có ước chung lớn hơn 1, ta cần tìm **ước số chung lớn nhất (ƯSCNN)** của \( 2m + 9 \) và \( 14(m + 4) \).

**Sử dụng thuật toán Euclid**:

- \( 14(m + 4) = 14m + 56 \)
- Tính ƯSCNN bằng cách lấy \( 14m + 56 \) trừ \( 2m + 9 \):

\[
14m + 56 - 7(2m + 9) = 14m + 56 - 14m - 63 = -7
\]

Tham gia tiếp tục với giá trị dương, ta tính ƯSCNN:

- \(\text{ƯSCNN}(2m + 9, 14(m + 4)) = \text{ƯSCNN}(2m + 9, 14)\)

4. **Xét \( \text{ƯSCNN}(2m + 9, 14) \)**:

- \( 14 \) có các ước là \( 1, 2, 7, 14 \).
- Xét \( 2m + 9 \) theo từng giá trị của \( m \):
- Nếu \( m = 0 \): \( 2 \cdot 0 + 9 = 9 \) ⇒ ƯSCNN(9, 14) = 1
- Nếu \( m = 1 \): \( 2 \cdot 1 + 9 = 11 \) ⇒ ƯSCNN(11, 14) = 1
- Nếu \( m = 2 \): \( 2 \cdot 2 + 9 = 13 \) ⇒ ƯSCNN(13, 14) = 1
- Nếu \( m = 3 \): \( 2 \cdot 3 + 9 = 15 \) ⇒ ƯSCNN(15, 14) = 1
- Nếu \( m = 4 \): \( 2 \cdot 4 + 9 = 17 \) ⇒ ƯSCNN(17, 14) = 1
- ...

Dễ dàng thấy với mọi giá trị \( m \in \mathbb{N} \), tử số \( 2m + 9 \) không chia hết cho 2, 7 hay 14.

5. Kết luận: Từ cả hai phần chứng minh trên, ta thấy rằng ƯSCNN(2m + 9, 14(m + 4)) = 1, từ đó suy ra rằng phân số \( \frac{2m + 9}{14m + 62} \) là phân số tối giản với mọi \( m \in \mathbb{N} \).