Để tìm kết quả sai trong các câu A, B, C, D, ta sẽ bắt đầu từ điều kiện \( \sin \alpha + \cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} \).

**Bước 1: Tính \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha \)**

Biết rằng \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \).

**Bước 2: Tính \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha \) từ \( \sin \alpha + \cos \alpha \)**

Ta có \( (\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3}{4} \).

Mở rộng bình phương:

\[
\sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha = \frac{3}{4}
\]

Thay \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha \) bằng 1:

\[
1 + 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{3}{4}
\]

Giải phương trình:

\[
2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{3}{4} - 1 = -\frac{1}{4}
\]

Do đó, ta có:

\[
\sin \alpha \cos \alpha = -\frac{1}{8}
\]

Vậy, kết quả A là đúng.

**Bước 3: Tính \( \sin \alpha - \cos \alpha \)**

Sử dụng công thức \( \sin \alpha - \cos \alpha = (\sin \alpha + \cos \alpha) - 2 \cos \alpha \).

Ta có thể tìm \(\cos \alpha\) và \(\sin \alpha\) từ hệ phương trình sau:

\[
\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1
\]
\[
\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}
\]

Ta có thể tính được:
- \( \sin \alpha + \cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} \) và \( \sin^2 + \cos^2 = 1 \).

- Sử dụng công thức lượng giác:

\[
\sin \alpha - \cos \alpha = \sqrt{(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 - 4 \sin \alpha \cos \alpha}
\]

Thay giá trị vào:

\[
\sin \alpha - \cos \alpha = \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{1} = 1 \text{ hoặc } -1
\]

Tuy nhiên, để làm rõ hơn về giá trị, ta có thể sử dụng phương trình hai biến để kiểm tra sự tồn tại:

Tính:
\[
\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha = \frac{(1 - 2\cos^2 \alpha) - \cos^2 \alpha}{2} = \frac{1 - 3\cos^2 \alpha}{2}
\]

Sử dụng \(x = \cos \alpha\):

Có thể lấy giá trị này mà được các giá trị sinh và cos. Tuy nhiên, phương trình dạng như \( \sin \alpha - \cos \alpha \) lại có thể cho giá trị ± trên tập xác định.

Tuy nhiên để tính chính xác hơn chúng ta cần chuyên sâu hơn về nghiệm của chúng.

**Bước 4: Tính về \( tan^2 \alpha + cot^2 \alpha \)**

Ta có:

\[
\tan^2 \alpha + \cot^2 \alpha = \frac{\sin^2}{\cos^2} + \frac{\cos^2}{\sin^2} = \frac{\sin^4 + \cos^4}{\sin^2 \cos^2}
\]

Với \( \sin^4 + \cos^4 = (\sin^2 + \cos^2)^2 - 2\sin^2 \cos^2 = 1 - 2\sin^2 \cos^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16} \)

Cuối cùng ta có được một giá trị từ \( \sin \alpha, \cos \alpha \) khi mà:

- Kết quả A đúng.
- Kết quả D cho một tỉ lệ không thỏa mãn.

Do đó:

**Kết luận**: Kết quả sai trong các đáp án là **D**.