Để chứng minh rằng IK là đường cao và trung tuyến của tam giác cân IDE tại I, ta có thể thực hiện theo các bước sau:

### a. Chứng minh IK là đường cao

1. **Giả thuyết**: Tam giác IDE cân tại I, nghĩa là ID = IE.

2. **Đường phân giác IK**: Có nghĩa là IK chia góc I thành hai góc bằng nhau: \( \angle DIK = \angle EIK \).

3. **Chứng minh tính vuông góc**: Ta thấy từ giả thuyết ID = IE và góc I được chia đều. Theo định lý đường cao trong tam giác cân, đường phân giác IK sẽ vuông góc với DE.

4. **Kết luận**: Do đó, IK là đường cao của tam giác IDE.

### b. Chứng minh IK là trung tuyến

1. **Giả thuyết**: Cũng từ tam giác cân IDE tại I, ta có ID = IE.

2. **Vị trí của K**: K là trung điểm của DE, tức là DK = KE.

3. **Chứng minh độ dài**: Vì IK vừa là đường phân giác (chia góc I thành hai phần bằng nhau) lại vừa vuông góc với DE theo như đã chứng minh ở phần a, ta có tam giác IDK và IEK là hai tam giác cân tại K.

4. **Kết luận**: Do đó, IK không chỉ là đường cao mà còn là trung tuyến.

### Tổng kết

Ta đã chứng minh được rằng IK là đồng thời đường cao và trung tuyến của tam giác IDE.