Để chứng minh rằng \( 2a + 3b \) chia hết cho 13, trước tiên ta sẽ xác định giá trị của \( a \) và \( b \) theo điều kiện đã cho.

Theo đề bài, ta có:

- \( a \equiv 2 \mod 39 \)
- \( b \equiv 3 \mod 52 \)

Điều này có nghĩa là:

\[
a = 39k + 2 \quad \text{với } k \text{ là một số nguyên}
\]
\[
b = 52m + 3 \quad \text{với } m \text{ là một số nguyên}
\]

Bây giờ, ta sẽ tính \( 2a + 3b \):

\[
2a + 3b = 2(39k + 2) + 3(52m + 3)
\]
\[
= 78k + 4 + 156m + 9
\]
\[
= 78k + 156m + 13
\]

Chúng ta có thể viết lại như sau:

\[
2a + 3b = 13(6k + 12m + 1)
\]

Từ đó, ta thấy rằng \( 2a + 3b \) là bội số của 13. Điều này có nghĩa là \( 2a + 3b \equiv 0 \mod 13 \).

Kết luận: \( 2a + 3b \) chia hết cho 13.