Ta có u→=x1; y1; z1, v→=x2; y2; z2 .

Do đó,u→=x1i→ +y1j→+ z1k→ ,v→=x2i→+ y2j→ +z2k→ .

Ta có u→⋅v→=x1i→ +y1j→+ z1k→⋅x2i→ +y2j→+ z2k→

=x1x2i→2+x1y2i→⋅j→+x1z2i→⋅k→+y1x2j→⋅i→+y1y2j→2+y1z2j→⋅k→+z1x2k→⋅i→+z1y2k→⋅j→+z1z2k→2.

Mà i→2=j→2=k→2=1   và i→⋅j→=j→⋅k→=k→⋅i→=0   (do i→,  j→,  k→   là ba vectơ đơn vị đôi một vuông góc với nhau).

Do đó, u→⋅v→=x1x2+y1y2+z1z2  .