Lời giải

a)

+) Xét tam giác BCD có: I là trung điểm của CD nên BI là đường trung tuyến.

Mà M là trọng tâm tam giác BCD nên BI đi qua M.

Do đó M ∈ BI.

Lại có AI ⊂ (ABI) nên M ∈ (ABI).

+) Xét tam giác ACD có: I là trung điểm của CD nên AI là đường trung tuyến.

Mà N là trọng tâm tam giác ACD nên AI đi qua N.

Do đó N ∈ AI.

Lại có BI ⊂ (ABI) nên N ∈ (ABI).

b) Trong DBCD có M là trọng tâm tam giác nên \(\frac = \frac{1}{3}\).

Trong DACD có N là trọng tâm tam giác nên \(\frac = \frac{1}{3}\).

Xét DABI có: \(\frac = \frac = \frac{1}{3}\) nên MN // AB (theo định lí Thalès đảo).

Xét DABI và MN // AB, theo hệ quả định lí Thalès ta có \(\frac = \frac = \frac = \frac{1}{3}\).

Xét DABG và MN // AB, theo hệ quả định lí Thalès ta có \(\frac = \frac = \frac = \frac{1}{3}\).

c)

• Gọi G’ là giao điểm của AM và CP; G’’ là giao điểm của AM và DQ.

Chứng minh tương tự câu b, ta có: \(\frac{{G'M}}{{G'A}} = \frac{{G'P}}{{G'C}} = \frac = \frac{1}{3}\) và \(\frac{{G''M}}{{G''A}} = \frac{{G''Q}}{{G''D}} = \frac = \frac{1}{3}\)

Do đó \(\frac = \frac{{G'M}}{{G'A}} = \frac{{G''M}}{{G''A}} = \frac{1}{3}\).

Mà G, G’, G’’ cùng nằm trên AM nên G ≡ G’ ≡ G’’.

Vậy các đường thẳng CP, DQ cùng đi qua điểm G.

• Xét tam giác ABC, kẻ đường trung tuyến AE (E ∈ BC).

Ta có: Q là trọng tâm DABC nên \(\frac = \frac{2}{3}\).

Xét tam giác ABD, kẻ đường trung tuyến AF (F ∈ BD).

Ta có: P là trọng tâm DABD nên \(\frac = \frac{2}{3}\).

+) Trong mặt phẳng (AEF), có: \(\frac = \frac = \frac{2}{3}\) nên PQ // EF (định lí Thalès đảo)

Mà EF // CD (đường trung bình tam giác BCD).

Suy ra PQ // CD

Theo hệ quả định lí Thalès ta có: \(\frac = \frac = \frac = \frac = \frac{1}{2}.\frac{2}{3} = \frac{1}{3}\).