a) ΔABC cân tại A có M là trung điểm của BC nên AM vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao của ΔABC.

Do đó AD⊥BC.

Do BD // AC nên MBD^=MCA^ (2 góc so le trong).

Xét ΔAMC vuông tại M và ΔDMB vuông tại M có:

MCA^=MBD^ (chứng minh trên).

MB = MC (theo giả thiết).

⇒ΔAMC=ΔDMB (góc nhọn - cạnh góc vuông)

b) Do ΔAMC=ΔDMB (góc nhọn - cạnh góc vuông) nên MA = MD (2 cạnh tương ướng).

Do đó M là trung điểm của AD.

ΔABD có M là trung điểm của AD, lại có BM⊥AD nên ΔABD cân tại B.

c) Xét ΔABD có BM, DP là các đường trung tuyến cắt nhau tại O nên O là trọng tâm của ΔABD.

Xét ΔAPN và ΔBPO có:

AP = BP (theo giả thiết).

APN^=BPO^ (2 góc đối đỉnh).

PN = PO (theo giả thiết).

⇒ΔAPN=ΔBPO (c - g - c).

⇒ NA = BO (2 cạnh tương ứng).

Do O là trọng tâm của ΔABD nên BO = 23BM; OM = 13BM.

Do đó BO = 2OM.

Mà NA = BO nên NA = 2OM.

Vậy O là trọng tâm của ΔABD và NA = 2OM.