Hướng dẫn giải

a) Vì F₁F₂ = 2c, mà O là trung điểm của F₁F₂.

Do đó ta có: F₁O = F­₂O = 2c : 2 = c.

Quan sát hình ta thấy, điểm F­₁ thuộc trục Ox, nằm bên trái điểm O và cách O một khoảng bằng F₁O nên tọa độ F_1­(– c; 0).

Điểm F­₂ thuộc trục Ox, nằm bên phải điểm O và cách O một khoảng bằng F₂O nên tọa độ F_2­(c; 0).

Vậy tọa độ các tiêu điểm: F₁(– c; 0) và F₂(c; 0).

b) +) Giả sử M(x; y) thuộc elip (E) ta cần chứng minh: x+c2+y2 + x-c2+y2=2a

Thật vậy, M thuộc elip (E) nên: MF₁ + MF₂ = 2a.

Lại có: MF₁ =x--c2+y-02 = x+c2+y2;

MF₂ = x-c2+y-02 = x-c2+y2.

⇒ MF₁ + MF₂  = x+c2+y2 + x-c2+y2=2a

Vậy x+c2+y2 + x-c2+y2=2a.

+) Giả sử x+c2+y2 + x-c2+y2=2a, ta cần chứng minh M thuộc elip (E).

Thật vậy: x+c2+y2 + x-c2+y2=2a nên: MF₁ + MF₂ = 2a.

Vậy M thuộc elip (E).