Ta có: \(f'\left[ {{f^2}\left( x \right) - f\left( x \right) + m} \right] = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{f^2}\left( x \right) - f\left( x \right) + m = 0}\\{{f^2}\left( x \right) - f\left( x \right) + m = 2}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{f^2}\left( x \right) - f\left( x \right) =  - m}\\{{f^2}\left( x \right) - f\left( x \right) = 2 - m}\end{array}(*).} \right.} \right.\)

Đặt \(t = f\left( x \right)\) ta có hàm \(h\left( t \right) = {t^2} - t\).

Để \(f'\left[ {{f^2}\left( x \right) - f\left( x \right) + m} \right] = 0\) có nhiều nghiệm nhất thì \((*)\) phải có nhiều nghiệm nhất nên các nghiệm của \((*)\) phải là \(t \in \left( { - 3\,;\,\,1} \right).\)

Xét hàm \(h\left( t \right) = {t^2} - t\) trên \(\left( { - 3\,;\,\,1} \right)\) có bảng biến thiên như sau:

Khi đó để \((*)\) có nhiều nghiệm nhất thì \( - \frac{1}{4} <  - m < 0 \Leftrightarrow 0 < m < \frac{1}{4}\).

Suy ra \(m \in \left( {0\,;\,\,\frac{1}{4}} \right) \Rightarrow a = 0\,,\,\,b = \frac{1}{4} \Rightarrow a + 4b = 1.\)

Đáp án: 1.