LH Quảng cáo: lazijsc@gmail.com

Bài tập  /  Bài đang cần trả lời

Cho đường tròn (O), đường kính AB. Trên tia tiếp tuyến Ax của đường tròn lấy điểm M (M ≠ A), từ M vẽ tiếp tuyến thứ hai MC với đường tròn (O) (C là tiếp điểm). Kẻ CH vuông góc với AB (H ∈ AB). MB cắt đường tròn (O) tại điểm Q (Q ≠ B) và cắt CH tại N. Gọi I là giao điểm của MO và AC. a) Chứng minh AIQM là tứ giác nội tiếp. b) Chứng minh OM // BC. c) Chứng minh tỉ số \(\frac\) không đổi khi M di động trên tia Ax (M ≠ A).

Cho đường tròn (O), đường kính AB. Trên tia tiếp tuyến Ax của đường tròn lấy điểm M (M ≠ A), từ M vẽ tiếp tuyến thứ hai MC với đường tròn (O) (C là tiếp điểm). Kẻ CH vuông góc với AB (H ∈ AB). MB cắt đường tròn (O) tại điểm Q (Q ≠ B) và cắt CH tại N. Gọi I là giao điểm của MO và AC.

a) Chứng minh AIQM là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh OM // BC.

c) Chứng minh tỉ số \(\frac\) không đổi khi M di động trên tia Ax (M ≠ A).

1 trả lời
Hỏi chi tiết
17
0
0

Lời giải

a) Ta có \(\widehat {AQB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)).

Suy ra \(\widehat {AQM} = 90^\circ \).

Do đó ba điểm A, Q, M nội tiếp đường tròn đường kính AM   (*)

Ta có MA, MC là hai tiếp tuyến của (O) cắt nhau tại M.

Suy ra MA = MC.

Khi đó M nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AC   (1)

Lại có OA = OC = R.

Suy ra O nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AC   (2)

Từ (1), (2), suy ra MO là đường trung trực của đoạn thẳng AC.

Do đó MO ⊥ AC tại I và I là trung điểm AC.

Suy ra \(\widehat {AIM} = 90^\circ \).

Khi đó ba điểm A, I, M nội tiếp đường tròn đường kính AM   (**)

Từ (*), (**), suy ra tứ giác AIQM nội tiếp đường tròn đường kính AM.

b) Tam giác OIC vuông tại I: \(\widehat {IOC} + \widehat {ICO} = 90^\circ \) (3)

Ta có \(\widehat {ACB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)).

Suy ra \(\widehat {OCB} + \widehat {ICO} = 90^\circ \)   (4)

Từ (3), (4), suy ra \(\widehat {IOC} = \widehat {OCB}\).

Mà hai góc này ở vị trí so le trong.

Vậy MO // BC.

c) Ta có tứ giác AIQM nội tiếp (chứng minh trên).

Suy ra \(\widehat {QIC} = \widehat {AMQ}\)   (5)

Lại có AM // CH (cùng vuông góc với AB).

Suy ra \(\widehat {AMQ} = \widehat {HNB}\) (cặp góc đồng vị)    (6)

Ta có \(\widehat {HNB} = \widehat {QNC}\) (cặp góc đối đỉnh)     (7)

Từ (5), (6), (7), suy ra \(\widehat {QIC} = \widehat {QNC}\).

Do đó tứ giác QINC nội tiếp được.

Suy ra \(\widehat {CIN} = \widehat {CQN}\) (cùng chắn ).

Mà \(\widehat {CAB} = \widehat {CQN}\) (cùng chắn  của đường tròn (O)).

Do đó \(\widehat {CIN} = \widehat {CAB}\).

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị.

Suy ra IN // AH.

Mà I là trung điểm AC (chứng minh trên).

Khi đó N là trung điểm CH.

Suy ra \(\frac = 2\).

Vậy tỉ số \(\frac\) không đổi khi M di động trên tia Ax (M ≠ A).

Mở khóa để xem toàn bộ nội dung trả lời

(?)
Bạn đã đạt đến giới hạn của mình. Bằng cách Đăng ký tài khoản, bạn có thể xem toàn bộ nội dung trả lời
Cải thiện điểm số của bạn bằng cách đăng ký tài khoản Lazi.
Xem toàn bộ các câu trả lời, chat trực tiếp 1:1 với đội ngũ Gia sư Lazi bằng cách Đăng nhập tài khoản ngay bây giờ
Tôi đã có tài khoản? Đăng nhập

Bạn hỏi - Lazi trả lời

Bạn muốn biết điều gì?

GỬI CÂU HỎI
Học tập không giới hạn cùng học sinh cả nước và AI, sôi động, tích cực, trải nghiệm
Bài tập liên quan
Bài tập Toán học Lớp 12 mới nhất

Hôm nay bạn thế nào? Hãy nhấp vào một lựa chọn, nếu may mắn bạn sẽ được tặng 50.000 xu từ Lazi

Vui Buồn Bình thường

Học ngoại ngữ với Flashcard

×
Trợ lý ảo Trợ lý ảo
×
Gia sư Lazi Gia sư