Cho đường tròn (O), đường kính AB. Trên tia tiếp tuyến Ax của đường tròn lấy điểm M (M ≠ A), từ M vẽ tiếp tuyến thứ hai MC với đường tròn (O) (C là tiếp điểm). Kẻ CH vuông góc với AB (H ∈ AB). MB cắt đường tròn (O) tại điểm Q (Q ≠ B) và cắt CH tại N. Gọi I là giao điểm của MO và AC.
a) Chứng minh AIQM là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh OM // BC.
c) Chứng minh tỉ số \(\frac\) không đổi khi M di động trên tia Ax (M ≠ A).
Bằng cách nhấp vào Đăng nhập, bạn đồng ý Chính sách bảo mật và Điều khoản sử dụng của chúng tôi. Nếu đây không phải máy tính của bạn, để đảm bảo an toàn, hãy sử dụng Cửa sổ riêng tư (Tab ẩn danh) để đăng nhập (New Private Window / New Incognito Window).
Lời giải
a) Ta có \(\widehat {AQB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)).
Suy ra \(\widehat {AQM} = 90^\circ \).
Do đó ba điểm A, Q, M nội tiếp đường tròn đường kính AM (*)
Ta có MA, MC là hai tiếp tuyến của (O) cắt nhau tại M.
Suy ra MA = MC.
Khi đó M nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AC (1)
Lại có OA = OC = R.
Suy ra O nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AC (2)
Từ (1), (2), suy ra MO là đường trung trực của đoạn thẳng AC.
Do đó MO ⊥ AC tại I và I là trung điểm AC.
Suy ra \(\widehat {AIM} = 90^\circ \).
Khi đó ba điểm A, I, M nội tiếp đường tròn đường kính AM (**)
Từ (*), (**), suy ra tứ giác AIQM nội tiếp đường tròn đường kính AM.
b) Tam giác OIC vuông tại I: \(\widehat {IOC} + \widehat {ICO} = 90^\circ \) (3)
Ta có \(\widehat {ACB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)).
Suy ra \(\widehat {OCB} + \widehat {ICO} = 90^\circ \) (4)
Từ (3), (4), suy ra \(\widehat {IOC} = \widehat {OCB}\).
Mà hai góc này ở vị trí so le trong.
Vậy MO // BC.
c) Ta có tứ giác AIQM nội tiếp (chứng minh trên).
Suy ra \(\widehat {QIC} = \widehat {AMQ}\) (5)
Lại có AM // CH (cùng vuông góc với AB).
Suy ra \(\widehat {AMQ} = \widehat {HNB}\) (cặp góc đồng vị) (6)
Ta có \(\widehat {HNB} = \widehat {QNC}\) (cặp góc đối đỉnh) (7)
Từ (5), (6), (7), suy ra \(\widehat {QIC} = \widehat {QNC}\).
Do đó tứ giác QINC nội tiếp được.
Suy ra \(\widehat {CIN} = \widehat {CQN}\) (cùng chắn ).
Mà \(\widehat {CAB} = \widehat {CQN}\) (cùng chắn của đường tròn (O)).
Do đó \(\widehat {CIN} = \widehat {CAB}\).
Mà hai góc này ở vị trí đồng vị.
Suy ra IN // AH.
Mà I là trung điểm AC (chứng minh trên).
Khi đó N là trung điểm CH.
Suy ra \(\frac = 2\).
Vậy tỉ số \(\frac\) không đổi khi M di động trên tia Ax (M ≠ A).
Tham gia Cộng đồng Lazi trên các mạng xã hội | |
Fanpage: | https://www.fb.com/lazi.vn |
Group: | https://www.fb.com/groups/lazi.vn |
Kênh FB: | https://m.me/j/AbY8WMG2VhCvgIcB |
LaziGo: | https://go.lazi.vn/join/lazigo |
Discord: | https://discord.gg/4vkBe6wJuU |
Youtube: | https://www.youtube.com/@lazi-vn |
Tiktok: | https://www.tiktok.com/@lazi.vn |
Hôm nay bạn thế nào? Hãy nhấp vào một lựa chọn, nếu may mắn bạn sẽ được tặng 50.000 xu từ Lazi
Vui | Buồn | Bình thường |