Đáp án: \(\left( { - 1;3} \right]\)

Phương pháp giải:

- Tính \[{\left[ {f\left( {\sqrt {4 - {x^2}} } \right)} \right]^\prime }\] và tìm nghiệm của \[{\left[ {f\left( {\sqrt {4 - {x^2}} } \right)} \right]^\prime } = 0\].

- Lập bảng biến thiên của hàm số \[y = f\left( {\sqrt {4 - {x^2}} } \right)\] trên nửa khoảng  \[\left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 3 } \right)\] rồi suy ra tập giá trị của \[m\].

Giải chi tiết:

Xét hàm  \(y = f\left( {\sqrt {4 - {x^2}} } \right)\) trên nửa khoảng \(\left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 3 } \right)\) ta có:

\(y' = {\left[ {f\left( {\sqrt {4 - {x^2}} } \right)} \right]^\prime } = {\left( {\sqrt {4 - {x^2}} } \right)^\prime }.f'\left( {\sqrt {4 - {x^2}} } \right) = \frac{{ - x.f'\left( {\sqrt {4 - {x^2}} } \right)}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow x.f'\left( {\sqrt {4 - {x^2}} } \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{f'\left( {\sqrt {4 - {x^2}} } \right)}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{\sqrt {4 - {x^2}} = - 1}\\{\sqrt {4 - {x^2}} = 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x = \pm \sqrt 3 \notin \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 3 } \right)}\end{array}} \right. \Leftrightarrow x = 0\).

Bảng biến thiên:

Từ đồ thị hàm số đã cho ta thấy \( - 1 < f\left( {\sqrt 2 } \right)\) nên để phương trình \(f\left( {\sqrt {4 - {x^2}} } \right) = m\) có nghiệm trong nửa khoảng \(\left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 3 } \right)\) thì \( - 1 < m \le 3\).

Vậy \(m \in \left( { - 1;3} \right]\).