Chọn hệ trục toạ độ Oxyz với \[A \equiv O\left( {0\,;\,\,0\,;\,\,0} \right),\,\,B\left( {a\,;\,\,0\,;\,\,0} \right),\,\,C\left( {a\,;\,\,a\,;\,\,0} \right),\,\,D\left( {0\,;\,\,a\,;\,\,0} \right),\]\[\,\,A'\left( {0\,;\,0\,;\,a} \right)\], \(B'\left( {a\,;\,0\,;\,a} \right),C'\left( {a\,;\,a\,;\,a} \right),D'\left( {0\,;\,a\,;\,a} \right).\)

Ta thấy \(OC \bot \left( {BB'D'D} \right)\) và \(\overrightarrow {OC}  = (a;a;0)\) nên suy ra mặt phẳng \(\left( {BB'D'D} \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \[\vec n = \left( {1\,;\,\,1\,;\,\,0} \right).\]

+ Đường thẳng \(A'B\) có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {A'B}  = \left( {a\,;\,\,0\,;\,\, - a} \right)\) ta chọn \(\vec u = \left( {1\,;\,\,0\,;\,\, - 1} \right).\)

+ Ta có \(\sin \alpha  = \frac{{\left| {\vec n \cdot \vec u} \right|}}{{\left| {\vec n} \right| \cdot \left| {\vec u} \right|}} = \frac{{\left| {1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 0 \cdot \left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {0^2}}  \cdot \sqrt {{1^2} + {0^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{1}{2}.\)

Đáp án: \(\frac{1}{2}.\)