Lời giải

a) ) Xét (O; R) có AB là 2 tiếp tuyến tại điểm B

Suy ra AB ⊥ OB

Mà ON ⊥ OB

Nên AB // ON

Xét (O;R) có AB , AC là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại A

Suy ra AB = AC và AO là tia phân giác của góc BAC

Xét (O; R) có AC là 2 tiếp tuyến tại điểm C

Suy ra AC ⊥ OC

Mà OM ⊥ OC

Nên AC // OM

Xét tứ giác AMON có AM // ON và AN // OM (chứng minh trên)

Suy ra AMON là hình bình hành

Mà AO là tia phân giác của góc MAN

Suy ra AMON là hình thoi

b) Gọi I là trung điểm của OA

Suy ra \[IA = IO = \frac{1}{2}OA = \frac{2} = R\].

Do đó OI là bán kính của (O)

Mà AMON là hình thoi

Nên OA vuông góc MN tại điểm I

Hay OI vuông góc MN tại điểm I

Xét (O; R) có OI là bán kính của (O), OI vuông góc MN tại điểm I

Suy ra MN là tiếp tuyến của đường tròn (O­)

c) Vì AMON là hình thoi, AO cắt MN tại I

Nên I là trung điểm của MNsuy ra MN = 2 IN

Xét tam giác OAB vuông ở B có sin\(\widehat {OAB} = \frac = \frac{R}{{2{\rm{R}}}} = \frac{1}{2}\)

Suy ra \(\widehat {OAB}\) = 30°

Vì AB // ON nên \(\widehat {OAB} = \widehat {ION}\) (hai góc so le trong)

Mà \(\widehat {OAB}\) = 30°

Suy ra \(\widehat {ION} = 30^\circ \)

Xét tam giác OIN vuông ở I có \(\tan \widehat {ION} = \frac\)

Hay \(\tan 30^\circ = \frac{R}\)

Suy ra \(IN = \frac{R}{{\sqrt 3 }}\)

Mà MN = 2IN (chứng minh trên)

Do đó \(MN = \frac{{\sqrt 3 }}\)

Diện tích hình thoi AMON bằng: \(\frac{1}{2}OA.MN = \frac{1}{2}.2R.\frac{{\sqrt 3 }} = \frac{{2{R^2}}}{{\sqrt 3 }}\).