Bài tập  /  Bài đang cần trả lời

Cho đường tròn (O; R), đường kính AB. Qua A và B vẽ lần lượt hai tiếp tuyến (d) và (d’) với đường tròn (O). Một đường thẳng qua O cắt đường thẳng d ở M và cắt đường thẳng (d’) ở P. Từ O vẽ một tia vuông góc với MP cắt đường thẳng (d’) ở N. a) Chứng minh OM = OP và tam giác NMP cân b) Kẻ OI vuông góc MN. Chứng minh MN là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại I c) Chứng minh AM . BN = R2 d) Tìm vị trí của M để diện tích tứ giác AMNB nhỏ nhất.

Cho đường tròn (O; R), đường kính AB. Qua A và B vẽ lần lượt hai tiếp tuyến (d) và (d’) với đường tròn (O). Một đường thẳng qua O cắt đường thẳng d ở M và cắt đường thẳng (d’) ở P. Từ O vẽ một tia vuông góc với MP cắt đường thẳng (d’) ở N.

a) Chứng minh OM = OP và tam giác NMP cân

b) Kẻ OI vuông góc MN. Chứng minh MN là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại I

c) Chứng minh AM . BN = R2

d) Tìm vị trí của M để diện tích tứ giác AMNB nhỏ nhất.

1 trả lời
Hỏi chi tiết
19
0
0
Nguyễn Thu Hiền
11/09 12:21:15

Lời giải

a) Vì (d) và (d’) là tiếp tuyến của (O) tại A, B

Nên OA ⊥ d, OB ⊥ d’

Suy ra \(\widehat {OAM} = 90^\circ \), \(\widehat {OBP} = 90^\circ \)

Ta có đường tròn (O; R), đường kính AB

Nên OA = OB = R

Xét tam giác OAM và tam giác OBP có

\(\widehat {OAM} = \widehat {OBP}\left( { = 90^\circ } \right)\)

OA = OB

\(\widehat {MOA} = \widehat {POB}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó △OAM = △OBP (g.c.g)

Suy ra OM = OP (hai cạnh tương ứng)

Xét tam giác MNP có NO vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến

Suy ra tam giác MNP cân tại N

b) Xét tam giác MNP cân tại N có NO là đường cao

Suy ra NO là tia phân giác của góc MNP

Suy ra \(\widehat {ONI} = \widehat {ONB}\)

Xét tam giác ONI và tam giác ONB có

\(\widehat {OIN} = \widehat {OBN}\left( { = 90^\circ } \right)\)

ON là cạnh chung

\(\widehat {ONI} = \widehat {ONB}\)(chứng minh trên)

Do đó △ONI = △ONB (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra OI = OB (hai cạnh tương ứng)

Mà OB = R nên OI = R

Xét (O; R) có OI = R, OI ⊥ MN

Suy ra MN là tiếp tuyến của (O) tại I

c) Xét (O) có MA , MI là hai tiếp tuyến cắt nhau tại M

Suy ra MA = MI

Xét (O) có NB , NI là hai tiếp tuyến cắt nhau tại N

Suy ra NB = NI

Vì tam giác OMN vuông tại O có OI ⊥ MN

Nên IM . IN = OI2 = R2

Mà MA = MI, NB = NI (chứng minh trên)

Suy ra AM . BN = R2

d) Tứ giác ABNM có \(\widehat {MAB} = \widehat {ABN} = 90^\circ \)

Nên ABNM là hình thang vuông

Suy ra \({S_{ABNM}} = \frac{{(AM + BN).AB}}{2} = \frac{{\left( {AI + IN} \right).2{\rm{R}}}}{2} = MN.R\)

Kẻ MH vuông góc d’

Ta có tam giác MHN vuông tại H

Suy ra MN ≥ MH

Để diện tích tứ giác ABNM nhỏ nhất

⟺ MN nhỏ nhất

Mà MN ≥ MH (chứng minh trên)

Dấu “ = ” xảy ra khi M ≡ H

Vậy điểm M nằm trên đường thẳng song song AB cách AB một khoảng bằng R thì diện tích tứ giác ABNM nhỏ nhất.

Mở khóa để xem toàn bộ nội dung trả lời

(?)
Bạn đã đạt đến giới hạn của mình. Bằng cách Đăng ký tài khoản, bạn có thể xem toàn bộ nội dung trả lời
Cải thiện điểm số của bạn bằng cách đăng ký tài khoản Lazi.
Xem toàn bộ các câu trả lời, chat trực tiếp 1:1 với đội ngũ Gia sư Lazi bằng cách Đăng nhập tài khoản ngay bây giờ
Tôi đã có tài khoản? Đăng nhập

Bạn hỏi - Lazi trả lời

Bạn muốn biết điều gì?

GỬI CÂU HỎI
Học tập không giới hạn cùng học sinh cả nước và AI, sôi động, tích cực, trải nghiệm
Bài tập liên quan

Hôm nay bạn thế nào? Hãy nhấp vào một lựa chọn, nếu may mắn bạn sẽ được tặng 50.000 xu từ Lazi

Vui Buồn Bình thường

Học ngoại ngữ với Flashcard

×
Trợ lý ảo Trợ lý ảo
×
Gia sư Lazi Gia sư