a. Xét tứ giác AMCB có 4 điểm A, M, C, B thuộc đường tròn (O)

Suy ra tứ giác AMCB nội tiếp.

Ta có

AMB^=ACB^ (tứ giác AMCB nội tiếp)

ABC^=ACB^ (tam giác ABC cân tại A)

Suy ra AMB^=ABC^ (điều phải chứng minh)

b. Xét ∆ AIC và ∆ MIB có:

BIC^ là góc chung

IBM^=ICA^(hai góc nội tiếp cùng chắn cung AM)

Suy ra ∆ AIC  ∆ MIB (g.g)

Từ đó suy ra IAIM=ICIB⇔ IA.IB = IM.IC (đpcm)

c. Ta có

EBI^=ACB^ (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cùng chắn cung AB)

EMI^=ABC^ (tứ giác AMCB nội tiếp)

ABC^=ACB^ (tam giác ABC cân tại A)

Từ ba điều trên suy ra EBI^=EMI^ suy ra tứ giác BEIM nội tiếp.

d. Ta có EIB^=EMB^(tứ giác EIMB nội tiếp)

EMB^=AMB^=ABC^=IBC^(chứng minh trên)

Suy ra EIB^=IBC^ suy ra IE // BC (hai góc so le trong bằng nhau).

Áp dụng hệ quả của định lý Ta − let ta có:

NENC=NINB=EIBC⇒NE.NINC.NB=EI2BC2 (1)

Ta có EIB^=EMB^(tứ giác EIMB nội tiếp).

EMB^=EBI^ (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cùng chắn cung AB).

Suy ra EBI^=EBI^ suy ra tam giác EBI cân tại E dẫn đến EB = EI (2)

Từ (1) và (2) suy ra (BEBC)2=NE . NINB . NC (điều phải chứng minh).