a) Ta có D là trung điểm của AB nên OD ⊥ AB (đường kính đi qua trung điểm của dây thì vuông góc với dây).

Ta có: ODC^= 90° (OD ⊥ AB)

OMC^= 90° (MC là tiếp tuyến của (O))

Xét tứ giác ABOC có ODC^+OMC^= 90° + 90° = 180°

Suy ra tứ giác CMOD nội tiếp.

b) Xét ∆CAN và ∆CNB có:

NCB^ là góc chung

NBA^=ANC^ (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cùng chắn cung AN).

Suy ra ∆CAN đồng dạng ∆CNB (g.g)

Từ đó suy ra CACN=CNCB⇔CN2=CA.CB (điều phải chứng minh)

c) Ta có: 

NIM^=NMC^ (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cùng chắn cung NM)

NDC^=NMC^(tứ giác CMOD nội tiếp)

Suy ra NIM^=NDC^ suy ra BC // IM.

d) Gọi H là giao điểm của MN và OC.

Ta có OM = ON = R.

CN = CM (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Suy ra OC là trung trực của MN suy ra OC ⊥ MN.

Xét ∆CEH và ∆COD có:

DCO^ là góc chung

EHC^=ODC^= 90° (OD ⊥ AB và MN ⊥ OC)

Suy ra ∆CEH đồng dạng ∆COD (g.g)

Từ đó suy ra CECO=CHCD⇔CE.CD=CH.CO (1)

Xét tam giác ONC vuông tại N đường cao NH ta có:

NC² = OH.OC

Mà NC² = CA.CB (chứng minh trên)

Suy ra OH.OC = CA.CB (2)

Từ (1) và (2) ta được

CE.CD = CA.CB

Mà CB + CA = 2CA + AB = 2CA + 2DA

= 2(CA + DA) = 2CD

⇒CD=12(CA+CB)

Thay vào trên ta được

⇔2CE=CA+CBCA.CB

⇔2CE=1CA+1CB (điều phải chứng minh)