a) Gọi N là trung điểm của OC

Ta có: ΔOHC vuông tại H (CH⊥AB tại H)

Mà HN là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền OC(N là trung điểm của OC)

Nên HN = \(\frac{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)

Mà ON = CN = \(\frac{2}\)(N là trung điểm của OC)

Nên HN = ON = CN (1)

Ta có: ΔOCI vuông tại I (OI ⊥ AC tại I)

Mà IN là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền OC(N là trung điểm của OC)

Nên IN = \(\frac{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)

Mà CN = ON = \(\frac{2}\)(N là trung điểm của CO)

Nên IN = CN = ON (2)

Từ (1) và (2) suy ra NI = NO = NC = NH

Hay I,O,C,H cùng thuộc một đường tròn (đpcm)

b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔMAO vuông tại A có AI là đường cao ứng với cạnh huyền OM, ta được:

OI.OM = OA² mà OA = R (A ∈ (O;R))

nên OI.OM = R² (đpcm)

Vì OM = 2R và R = 6cm nên OM = 2.6 = 12 (cm)

Thay OM = 12cm và R=6cm vào biểu thức OI.OM = R², ta được:

OI⋅12 = 6² = 36

hay OI = 3 cm

Vậy: Khi OM = 2R và R = 6cm thì OI = 3cm.