a) Ta có: \(A = \frac + \frac = \frac{{\left( {x + y} \right)\left( {1 + xy} \right) + \left( {x - y} \right)\left( {1 - xy} \right)}}{{\left( {1 - xy} \right)\left( {1 + xy} \right)}}\)

\( = \frac}\)

\( = \frac}} = \frac{{2x\left( {1 + {y^2}} \right)}}}.\)

\(B = 1 + \frac{{{x^2} + {y^2} + 2{x^2}{y^2}}}} = \frac}}\)

\( = \frac{{{x^2} + {y^2} + {x^2}{y^2} + 1}}} = \frac{{\left( {1 + {x^2}} \right) + {y^2}\left( {1 + {x^2}} \right)}}}\)

\( = \frac{{\left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 + {y^2}} \right)}}}.\)

b) Từ hai kết quả trên, ta có:

\(P = A:B = \frac{{2x\left( {1 + {y^2}} \right)}}}:\frac{{\left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 + {y^2}} \right)}}}\)

\( = \frac{{2x\left( {1 + {x^2}} \right)}}}.\frac}{{\left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 + {y^2}} \right)}} = \frac}.\) (*)

Trong biểu thức (*), ta thấy không xuất hiện biến y, chứng tỏ giá trị của biểu thức P nếu xác định thì nó không phụ thuộc vào biến y.

c) Ta thấy:

\(1 - \frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}} = \frac \right)}}} = \frac}} = \frac}.\)

So sánh kết quả này với (*), ta suy ra \(P = 1 - \frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}}.\)

d) Cách 1. Từ kết quả câu c, ta có: P = 1 khi \(\frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}} = 0.\) Điều này xảy ra khi hai biến x và y xác định, tức là nếu x = 1 và x²y² – 1 ≠ 0. Vậy các giá trị của x và y để P = 1 là x = 1 và y² ≠ 1 hay \(y \ne \pm 1.\)

Cách 2. Từ (*) ta có (với điều kiện x²y² – 1 ≠ 0): \(P = \frac} = 1,\) hay 2x = 1 + x², tức là (x – 1)² = 0, hay x = 1.