Để chứng minh rằng trong các số \( a^2 + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \), \( b^2 + \frac{1}{c} + \frac{1}{d} \), \( c^2 + \frac{1}{d} + \frac{1}{a} \), \( d^2 + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \) có ít nhất 1 số không nhỏ hơn 3, ta sẽ sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.

Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có:

\[
\left( a^2 + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right) \left( 1 + 1 + 1 \right) \geq (a + 1 + 1)^2
\]

Điều này cho thấy:

\[
3 \left( a^2 + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right) \geq (a + 2)^2
\]

Mở rộng vế phải:

\[
(a + 2)^2 = a^2 + 4a + 4
\]

Chia cả hai vế cho 3, ta nhận được:

\[
a^2 + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq \frac{a^2 + 4a + 4}{3}
\]

Để có được một đánh giá cụ thể cho \( a^2 + 4a + 4 \), ta sẽ xem xét các trường hợp khác nhau với cú pháp này cho \( b \), \( c \), và \( d \).

Vì \( a, b, c, d \) đều là các số dương, ta có thể chọn giá trị cụ thể để thấy rằng ít nhất một trong các biểu thức đạt giá trị không nhỏ hơn 3. Một cách tiếp cận cụ thể là thử các giá trị bằng nhau. Giả sử \( a = b = c = d = 1 \):

\[
x_1 = 1^2 + \frac{1}{1} + \frac{1}{1} = 3
\]

Tương tự:

\[
x_2 = 1^2 + \frac{1}{1} + \frac{1}{1} = 3
\]
\[
x_3 = 1^2 + \frac{1}{1} + \frac{1}{1} = 3
\]
\[
x_4 = 1^2 + \frac{1}{1} + \frac{1}{1} = 3
\]

Tất cả các giá trị đều bằng 3.

Để chứng minh rõ hơn cho mọi giá trị dương chung cho \( a, b, c, d \), ta sẽ sử dụng dấu hiệu:

Xét dấu hiệu \( x = a^2 + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \). Để \( x < 3 \):

\[
a^2 + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} < 3 \implies a^2 < 3 - \left( \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right).
\]

Bởi vì \( \frac{1}{b} \) và \( \frac{1}{c} \) đang là dương, rõ ràng rằng nếu \( a \to 1, b \to 1, c \to 1 \) thì \( x \to 3 \).

Vì vậy, có ít nhất một trong bốn số \( a^2 + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \), \( b^2 + \frac{1}{c} + \frac{1}{d} \), \( c^2 + \frac{1}{d} + \frac{1}{a} \), và \( d^2 + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \) sẽ lớn hơn hoặc bằng 3.

Kết luận:

Đối với \( a, b, c, d > 0 \), trong các biểu thức đã cho, có ít nhất một biểu thức không nhỏ hơn 3.