a)  A=x+x22−x

Điều kiện xác định của biểu thức A là: 2 – x ≠ 0 Û x ≠ 2.

Ta có |2x – 3| = 1

Trường hợp 1: 2x – 3 ≥ 0 thì 2x – 3 = 1

Với 2x – 3 ≥ 0 Û 2x ≥ 3 Û x ≥ 32  thì |2x – 3| = 2x – 3. Khi đó:

2x – 3 = 1 Û 2x = 4 Û x = 2 (không thõa mãn)

Trường hợp 2: 2x – 3 ≤ 0 Û 2x ≤ 3 Û x ≤ 32  thì |2x – 3| = – 2x + 3. Khi đó:

– 2x + 3 = 1 Û 2x = 2 Û x = 1 (thõa mãn)

Thay x = 1 (TMĐK) vào A=x+x22−x  ta được:

A=1+122−1=1+11=2.

b) Điều kiện xác định của biểu thức B:

x+1≠0x−2≠0x2−x−2≠0⇔x+1≠0x−2≠0x2+x−2x−2≠0⇔x+1≠0x−2≠0x+1x−2≠0⇔x+1≠0x−2≠0⇔x≠−1x≠2

Khi đó, ta có:

B=2xx+1+3x−2−2x2+1x2−x−2=2xx−2x+1x−2+3x+1x−2x+1−2x2+1x−2x+1=2x2−4xx+1x−2+3x+3x−2x+1−2x2+1x−2x+1=2x2−4x+3x+3−2x2+1x+1x−2=2x2−4x+3x+3−2x2−1x+1x−2=2x2−2x2−4x+3x+3−1x+1x−2=−x+2x+1x−2=−x−2x+1x−2=−1x+1

c) Ta có P = A.B nên:

P=x+x22−x.−1x+1=xx+12−x.−1x+1=−x2−x=xx−2=1+2x−2

Để biểu thức P=1+2x−2  đạt giá trị lớn nhất thì 2x−2  đạt giá trị lớn nhất.

Suy ra (x – 2) đạt giá trị nhỏ nhất.

∙ Xét x – 2 < 0 hay x < 2 thì 2x−2  < 0.

Do đó không xác định được giá trị nhỏ nhất trong trường hợp này.

∙ Xét x – 2 > 0 hay x > 2 thì 2x−2  > 0.

Ta thấy: x là số nguyên lớn hơn 2 mà (x – 2) đạt giá trị nhỏ nhất nên x = 3.

Vậy để P = A . B đạt giá trị lớn nhất thì x = 3.