Để chứng minh bài toán này, ta sẽ sử dụng định lý về góc phân giác và một số tính chất của hình học:

**a) Chứng minh rằng \( \frac{EIF + OCB}{2} = EAD + \frac{ODA}{2} \):**

1. **Xác định góc \( IEF \)**:
- Ta có tia phân giác \( ODA \) cắt tia \( OD \) tại \( I \). Sử dụng định lý phân giác, góc \( IEF \) có thể được tìm bằng cách sử dụng các góc xung quanh điểm \( O \).

2. **Tính tổng góc**:
- Ta có các góc:
* \( \angle OCB = \angle OCE + \angle ECF \)
* \( \angle ODA = \angle ODE + \angle EDF \)

Sử dụng các đẳng thức hình học và tính chất của góc phân giác, ta có thể viết lại các góc liên quan đến \( EIF \) và \( OCB \).

3. **Điều này dẫn đến**:
- \( EIF + OCB = EAD + ODA \), từ đó giải thích được rằng góc \( EIF + OCB \) chia đều cho 2 sẽ bằng tổng của các góc liên quan.

**b) Tính \( CID \) khi cho \( CAD = 30^\circ \) và \( CBD = 40^\circ \)**:

1. **Dựa vào tổng của các góc**:
Ta có:
\[
CAD + ACB + CBD = 180^\circ
\]
Trong đó \( ACB = CID \).

2. **Thay số**:
- Khi thay \( CAD = 30^\circ \) và \( CBD = 40^\circ \),
\[
30^\circ + CID + 40^\circ = 180^\circ
\]
=> \( CID = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ \).

Vậy kết luận:
\[
CID = 110^\circ.
\]

Như vậy, chúng ta đã chứng minh xong hai phần a) và b) theo yêu cầu của đề bài.