Chứng minh rằng có ba điểm trong tam điểm đó tạo thành một tam giác có diện tích không lớn hơn

Chứng minh rằng có ba điểm trong bốn điểm \( M, N, P, Q \) (nằm bên trong hình vuông \( ABCD \)) tạo thành một tam giác có diện tích không lớn hơn \( 1 \, \text{cm}^2 \) có thể thực hiện thông qua nguyên lý đếm và thuộc tính diện tích tam giác.

### Bước 1: Diện tích tam giác

Diện tích của một tam giác được xác định bởi công thức:
\[
S = \frac{1}{2} \cdot \text{độ dài đáy} \cdot \text{chiều cao}
\]
Với ba điểm \( M, N, P, Q \), diện tích của bất kỳ tam giác nào được tạo thành từ ba trong bốn điểm sẽ không lớn hơn diện tích của hình vuông \( ABCD \).

### Bước 2: Phương pháp chia đều

Chúng ta có thể chia hình vuông \( ABCD \) thành một số phần nhỏ, giả sử chia thành \( k \) hình chữ nhật (hoặc tam giác) nhỏ có diện tích đều.

Nếu chiều dài và chiều rộng của hình vuông \( ABCD \) là \( a \), diện tích của hình vuông là \( S_{ABCD} = a^2 = 10 \, \text{cm}^2 \).

### Bước 3: Thực hiện nguyên lý Pigeonhole

1. Chia hình vuông thành ít nhất 10 hình nhỏ có diện tích \( 1 \, \text{cm}^2 \) mỗi hình.
2. Với bốn điểm \( M, N, P, Q \) nằm trong hình vuông này, theo nguyên lý phân phối (Pigeonhole Principle), ít nhất một hình nhỏ sẽ chứa ít nhất hai điểm trong bốn điểm này.

### Bước 4: Khả năng tạo tam giác

Khi có hai điểm nằm trong một hình nhỏ có diện tích \( 1 \, \text{cm}^2 \), điểm thứ ba (có thể là điểm còn lại trong bốn điểm) có thể được cho nằm ở một vị trí nào đó không làm cho tam giác vượt quá 1 cm², đặc biệt khi chúng ta xét vị trí của các điểm.

Bằng cách này, có thể tìm thấy ba điểm nào đó tạo thành một tam giác có diện tích không lớn hơn \( 1 \, \text{cm}^2 \).

### Kết luận

Do đó, chúng ta đã chứng minh rằng luôn có ba điểm trong bốn điểm \( M, N, P, Q \) tạo thành một tam giác có diện tích không lớn hơn \( 1 \, \text{cm}^2 \).