a) Ta có: \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {A'D'} } \right) = \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right) = \widehat {BAC} = 180^\circ  - 60^\circ  = 120^\circ \).

Do đó, \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {A'D'}  = AB.A'D'.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {A'D'} } \right)\) = 1.1. cos120° = \( - \frac{1}{2}\).

b) Ta có: AA' vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên \(\left( {\overrightarrow {AA'} ,\overrightarrow {BD} } \right)\) = 90°.

Do đó, \(\overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {BD} \) = AA'.BD.cos90° = 0.

c) Tam giác ABC có AB = BC = 1 và \(\widehat {ABC}\) = 60° nên tam giác ABC đều.

Do đó, \(\widehat {BAC}\) = 60° và AC = 1.

Ta có: \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {A'C'} } \right) = \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \widehat {BAC}\) = 60° và \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {A'C'} \) = AB.A'C'.cos60° = 1.1.\(\frac{1}{2}\) = \(\frac{1}{2}\).