Bài tập  /  Bài đang cần trả lời

Cắt bỏ hình quạt AOB (hình phẳng có nét gạch trong hình dưới đây) từ một mảnh các tông hình tròn bán kính R rồi dán hai bán kính OA và OB của hình quạt tròn còn lại với nhau để được một cái phễu có dạng của một hình nón. Gọi x là góc ở tâm của quạt tròn dùng làm phễu (0 < x < 2π). a) Hãy biểu diễn bán kính đáy r và đường cao h của hình nón theo P và x. b) Tính thể tích của hình nón theo R và x. c) Tìm x để hình nón có thể tích lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó.

Cắt bỏ hình quạt AOB (hình phẳng có nét gạch trong hình dưới đây) từ một mảnh các tông hình tròn bán kính R rồi dán hai bán kính OA và OB của hình quạt tròn còn lại với nhau để được một cái phễu có dạng của một hình nón. Gọi x là góc ở tâm của quạt tròn dùng làm phễu (0 < x < 2π).

a) Hãy biểu diễn bán kính đáy r và đường cao h của hình nón theo P và x.

b) Tính thể tích của hình nón theo R và x.

c) Tìm x để hình nón có thể tích lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó.

1 trả lời
Hỏi chi tiết
22
0
0
Tôi yêu Việt Nam
11/09 22:19:17

a) Vì độ dài của đường tròn đáy hình nón bằng độ dài  của quạt tròn dùng làm phễu nên ta có: 2πr = Rx ⇔ r = \(\frac{{2\pi }}\).

Mặt khác h = \(\sqrt {{R^2} - {r^2}} \) = \(\sqrt {{R^2} - \frac{{{R^2}{x^2}}}{{4{\pi ^2}}}} \) = \(\frac{R}{{2\pi }}\sqrt {4{\pi ^2} - {x^2}} \).

b) Thể tích của hình nón là:

V = \(\frac{1}{3}\pi {r^2}h\) = \(\frac{{{R^3}}}{{24{\pi ^2}}}{x^2}\sqrt {4{\pi ^2} - {x^2}} \), 0 < x < 2π.

c) Ta cần tìm x ∈ (0; 2π) sao cho thể tích V đạt giá trị lớn nhất.

Xét hàm số f(x) = \(\frac{{{R^3}}}{{24{\pi ^2}}}{x^2}\sqrt {4{\pi ^2} - {x^2}} \), x ∈ (0; 2π).

Ta có: f'(x) = \(\frac{{{R^3}}}{{24{\pi ^2}}}.\frac{{x\left( {8{\pi ^2} - 3{x^2}} \right)}}{{\sqrt {4{\pi ^2} - {x^2}} }}\)

           f'(x) = 0 ⇔ x = \(\frac{{2\pi \sqrt 6 }}{3}\)≈ 1,63π.

Ta có bảng biến thiên như sau:

Hình nón có thể tích lớn nhất khi x = \(\frac{{2\pi \sqrt 6 }}{3}\)≈ 1,63π.

Khi đó: \(\mathop {\max }\limits_{x \in (0;2\pi )} V = f\left( {\frac{{2\pi \sqrt 6 }}{3}} \right) = \frac{{2\sqrt 3 }}\pi {R^3}\).

Mở khóa để xem toàn bộ nội dung trả lời

(?)
Bạn đã đạt đến giới hạn của mình. Bằng cách Đăng ký tài khoản, bạn có thể xem toàn bộ nội dung trả lời
Cải thiện điểm số của bạn bằng cách đăng ký tài khoản Lazi.
Xem toàn bộ các câu trả lời, chat trực tiếp 1:1 với đội ngũ Gia sư Lazi bằng cách Đăng nhập tài khoản ngay bây giờ
Tôi đã có tài khoản? Đăng nhập

Bạn hỏi - Lazi trả lời

Bạn muốn biết điều gì?

GỬI CÂU HỎI
Học tập không giới hạn cùng học sinh cả nước và AI, sôi động, tích cực, trải nghiệm
Bài tập liên quan
Bài tập Toán học Lớp 12 mới nhất

Hôm nay bạn thế nào? Hãy nhấp vào một lựa chọn, nếu may mắn bạn sẽ được tặng 50.000 xu từ Lazi

Vui Buồn Bình thường

Học ngoại ngữ với Flashcard

×
Trợ lý ảo Trợ lý ảo
×
Gia sư Lazi Gia sư