Từ 2R = l và 2l = 3r, suy ra \[R = \frac{l}{2},\,\,r = \frac{3}.\]

Diện tích mặt cầu (C) là: \(4\pi {R^2} = 4\pi \cdot {\left( {\frac{l}{2}} \right)^2} = 4\pi \cdot \frac{l}{4} = \pi {l^2}.\)

Diện tích toàn phần của hình nón (N) là:

\(\pi rl + \pi {r^2} = \pi \cdot \frac{3} \cdot l + \pi \cdot {\left( {\frac{3}} \right)^2} = \frac{2}{3}\pi {l^2} + \frac{4}{9}\pi {l^2} = \frac{{10\pi {l^2}}}{9}.\)

Do tổng diện tích mặt cầu (C) và diện tích toàn phần của hình nón (N) là 171π cm² nên:

\(\pi {l^2} + \frac{{10\pi {l^2}}}{9} = 171\pi \) hay 19πl² = 171π.9

Suy ra l² = 81 nên l = 9 cm (do l > 0).

Khi đó, bán kính mặt cầu (C) là \[R = \frac{l}{2} = \frac{9}{2} = 4,5\] (cm).

Vậy diện tích của mặt cầu (C) là:

4πR² = 4π.(4,5)² = 81π ≈ 81.3,14 = 254,34 ≈ 254 (cm²).