1) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sqrt {3x + 1} + 2y = 4\,\,\,\,\left( 1 \right)}\\{3\sqrt {3x + 1} - y = 5\,\,\,\,\left( 2 \right)}\end{array}} \right.\)

Điều kiện \(x \ge - \frac{1}{3}.\)

Nhân hai vế của phương trình \(\left( 2 \right)\) với \(2,\) ta được hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sqrt {3x + 1} + 2y = 4}\\{6\sqrt {3x + 1} - 2y = 10.}\end{array}} \right.\)

Cộng từng vế hai phương trình của hệ phương trình trên, ta được:

\(7\sqrt {3x + 1} = 14,\) suy ra \(\sqrt {3x + 1} = 2\) nên \(3x + 1 = 4,\) do đó \(x = 1\) (thỏa mãn \(x \ge - \frac{1}{3}).\)

Thay \(\sqrt {3x + 1} = 2\) vào phương trình \(\left( 1 \right),\) ta được:

\(2 + 2y = 4,\) do đó \(y = 1.\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \[\left( {1;\,\,1} \right).\]

2) a) Xét phương trình hoành độ giao điểm của \[\left( d \right)\] và \(\left( P \right)\) là:

\({x^2} = \left( {m - 2} \right)x + 5\) hay \({x^2} - \left( {m - 2} \right)x - 5 = 0\)

Phương trình trên có \({\rm{\Delta }} = \left[ { - {{\left( {m - 2} \right)}^2}} \right] - 4 \cdot 1 \cdot \left( { - 5} \right)\)\( = {\left( {m - 2} \right)^2} + 20 > 0\) với mọi \(m \in \mathbb{R}.\)

Do đó phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt.

Vậy \[\left( d \right)\] luôn cắt \[\left( P \right)\] tại hai điểm phân biệt.

b) Theo định lí Viète, ta có: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = m - 2}\\{{x_1}{x_2} = - 5.}\end{array}} \right.\]

Theo bài, \({x_1} + 5{x_2} = 0\) nên suy ra \({x_1} = - 5{x_2}.\)

Kết hợp với \[{x_1}{x_2} = - 5,\] ta được: \( - 5{x_2} \cdot {x_2} = - 5,\) hay \(x_2^2 = 1,\) nên \({x_2} = 1\) hoặc \({x_2} = - 1.\)

Trường hợp 1. \({x_2} = 1,\) suy ra \({x_1} = - 5,\) kết hợp với \[{x_1} + {x_2} = m - 2,\] ta được:

\( - 5 + 1 = m - 2,\) do đó \(m = - 2.\)

Trường hợp 2. \({x_2} = - 1,\) suy ra \({x_1} = 5,\) kết hợp với \[{x_1} + {x_2} = m - 2,\] ta được:

\(5 + \left( { - 1} \right) = m - 2,\) do đó \(m = 6.\)

Vậy \(m \in \left\{ { - 2;6} \right\}\) là giá trị cần tìm.