a,

Ta có ABCD là hình bình hành ⇒ AC ∩ BD tại trung điểm mỗi đường

Mà AC ∩ BD = 0 ⇒ O là trung điểm AC, DB

Lại có M, N là trung điểm OD, OB

⇒ OM = \(\frac{1}{2}\) OD = \(\frac{1}{2}\) OB = ON

⇒ O là trung điểm MN

Do O là trung điểm AC, MN

⇒ AMCN là hình bình hành (đpcm).

b,

Ta có AMCN là hình bình hành.

⇒ AM // CN

⇒ AE // CF

Mà AB // CD ⇒ AF // CE

⇒ AECF là hình bình hành.

c,

Ta có AECF là hình bình hành.

⇒ AC ∩ EF tại trung điểm mỗi đường

Mà O là trung điểm AC

⇒ O là trung điểm EF

⇒ E, F đối xứng nhau qua O (đpcm).

d,

Gọi G là trung điểm CE

Vì O là trung điểm AC ⇒ OG là đường trung bình ∆ACE

⇒ OG // AE

⇒ ME // OG

Mà M là trung điểm DO ⇒ ME là đường trung bình ∆ODG

⇒ E là trung điểm DG

⇒ DE = EG = GC

⇒ CE = CG + GE = DE + DE = 2DE (đpcm).