Bài tập  /  Bài đang cần trả lời

Cho hàm số \(y = \frac{{m{x^2} + \left( {2m - 1} \right)x - 1}}\) với m là tham số. a) Chứng minh rằng hàm số đã cho luôn có cực đại, cực tiểu với mọi m > 0. b) Khảo sát và vẽ đồ thị (H) của hàm số đã cho với m = 1. c) Giả sử ∆ cắt tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của (H) tại điểm M ∈ (H) bất kì. Chứng minh rằng nếu ∆ cắt tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của (H) tại A và B thì M luôn là trung điểm của đoạn AB.

Cho hàm số \(y = \frac{{m{x^2} + \left( {2m - 1} \right)x - 1}}\) với m là tham số.

a) Chứng minh rằng hàm số đã cho luôn có cực đại, cực tiểu với mọi m > 0.

b) Khảo sát và vẽ đồ thị (H) của hàm số đã cho với m = 1.

c) Giả sử ∆ cắt tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của (H) tại điểm M ∈ (H) bất kì. Chứng minh rằng nếu ∆ cắt tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của (H) tại A và B thì M luôn là trung điểm của đoạn AB.

1 Xem trả lời
Hỏi chi tiết
20
0
0
Nguyễn Thu Hiền
12/09 17:45:17

a) Tập xác định: D = ℝ\{−2}.

Ta có: \(y' = \frac{{m{x^2} + 4mx + 4m - 1}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\)

           y' = 0 ⇔ mx2 + 4mx + 4m – 1 = 0

Xét ∆' = 4m2 – m(4m – 1) = 4m2 – 4m2 + m = m.

Với m > 0 thì ta được y' = 0 là phương trình bâc hai có hai nghiệm phân biệt x1, x2.

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Vậy hàm số luôn có cực đại, cực tiểu với mọi m > 0.

b) Với m = 1, ta có: y = \(\frac{{{x^2} + x - 1}}\)

Tập xác định: D = ℝ\{−2}.

Ta có: \(y' = \frac{{{x^2} + 4x + 3}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\)

           y' = 0 ⇔ x2 + 4x + 3 = 0 ⇔ x = −3 hoặc x = −1.

Ta có:   \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty \) .

             \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} y = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} y = - \infty \).

Do đó, đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = −2 làm tiệm cận đứng.

Ta có: y = \(\frac{{{x^2} + x - 1}}\)= x – 1 + \(\frac{1}\).

Suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {y - \left( {x - 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1} = 0\)

Do đó, đường thẳng y = x – 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Ta có bảng biến thiên như sau:

Đồ thị của hàm số như sau:

c) Lấy M\(\left( {t;\frac{{{t^2} + t - 1}}} \right)\) ∈ (H) bất kì.

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (H) tại M là:

d: y = y'(t)(x – t) + y(t)

    y = \(\frac{{{t^2} + 4t + 3}}{{{{\left( {t + 2} \right)}^2}}}\left( {x - t} \right) + \frac{{{t^2} + t - 1}}\).

Tiếp tuyến d cắt tiệm cận đứng tại điểm A\(\left( { - 2; - \frac} \right)\).

Tiếp tuyến d cắt tiệm cận xiên tại điểm B(2t + 2; 2t + 1).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_B} = 2t = 2{x_M}\\{y_A} + {y_B} = (2t + 1) - \frac = \frac{{2{t^2} + 2t - 2}} = 2{y_M}\end{array} \right.\).

Vậy M là trung điểm của đoạn AB.

Mở khóa để xem toàn bộ nội dung trả lời

(?)
Bạn đã đạt đến giới hạn của mình. Bằng cách Đăng ký tài khoản, bạn có thể xem toàn bộ nội dung trả lời
Cải thiện điểm số của bạn bằng cách đăng ký tài khoản Lazi.
Xem toàn bộ các câu trả lời, chat trực tiếp 1:1 với đội ngũ Gia sư Lazi bằng cách Đăng nhập tài khoản ngay bây giờ
Tôi đã có tài khoản? Đăng nhập

Bạn hỏi - Lazi trả lời

Bạn muốn biết điều gì?

GỬI CÂU HỎI
Học tập không giới hạn cùng học sinh cả nước và AI, sôi động, tích cực, trải nghiệm
Câu hỏi liên quan

Hôm nay bạn thế nào? Hãy nhấp vào một lựa chọn, nếu may mắn bạn sẽ được tặng 50.000 xu từ Lazi

Vui Buồn Bình thường
×
Trợ lý ảo Trợ lý ảo
×
Đấu trường tri thức | Lazi Quiz Challenge +500k
Gửi câu hỏi
×