Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( P = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 3} \), trước hết chúng ta cần xác định miền xác định của biểu thức.

Biểu thức này được xác định khi \( \sqrt{x} - 3 \neq 0 \) và \( \sqrt{x} \geq 0 \), tức là:
1. \( \sqrt{x} - 3 \neq 0 \) \(\Rightarrow \sqrt{x} \neq 3 \Rightarrow x \neq 9\)
2. \( \sqrt{x} \geq 0 \Rightarrow x \geq 0\)

Do đó, miền xác định của \( P \) là \( x \geq 0 \) và \( x \neq 9 \).

Bây giờ, ta có thể xét hàm số này. Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( P \), ta thực hiện phép biến đổi:

\[
P = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 3}
\]

Đặt \( t = \sqrt{x} \) (với \( t \geq 0 \) và \( t \neq 3 \)), ta có:

\[
P(t) = \frac{t + 1}{t - 3}
\]

Tiếp theo, ta tìm giá trị cực trị của hàm \( P(t) \). Để làm được điều này, ta tính đạo hàm:

\[
P'(t) = \frac{(t - 3) \cdot 1 - (t + 1)(1)}{(t - 3)^2} = \frac{t - 3 - t - 1}{(t - 3)^2} = \frac{-4}{(t - 3)^2}
\]

Hàm số \( P'(t) \) luôn âm ở miền \( t \neq 3 \), điều này cho thấy \( P(t) \) là hàm giảm trên các khoảng \( [0, 3) \) và \( (3, \infty) \).

Để tìm giới hạn của \( P(t) \) tại các biên:

- Khi \( t \to 3^- \) (từ trái 3):

\[
P(t) \to -\infty
\]

- Khi \( t = 0 \):

\[
P(0) = \frac{0 + 1}{0 - 3} = -\frac{1}{3}
\]

- Khi \( t \to \infty \):

\[
P(t) \to 1
\]

Từ các giới hạn trên, dễ thấy hàm số \( P(t) \) giảm từ \( -\frac{1}{3} \) đến \( -\infty \) và sau đó tăng từ \( 1 \) trở đi.

Do đó, giá trị nhỏ nhất của \( P \) trong miền xác định là:

\[
\boxed{-\frac{1}{3}}
\] tại \( t = 0 \) (tương ứng với \( x = 0 \)).