·                     Chứng minh rằng tứ giác MDEH nội tiếp.

Ta có: MDN^=90° ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Xét tứ giác MDEH có:

MDE^+EHM^=90°+90°=180° ( Hai góc đối diện bù nhau).

⇒tứ giác MDEH nội tiếp đường tròn.

·                     Chứng minh rằng:NB2=NE.ND.

Vì MN⊥AB tại H mà HA=HB (chứng minh trên) ⇒NA⏜=NB⏜

Xét ΔNBD và ΔNEB có:

N^ là góc chung.

NDB^=12sdNB⏜, NBE^=12sdNA⏜( hai góc NDB^vàNBE^ là hai góc nội tiếp đường tròn (O;R))

Mà NA⏜=NB⏜⇒NDB^=NBE^ 

⇒ΔNBD~ΔNEB (g - g)

⇒NBNE=NDNB 

⇒NB2=NE.ND(đpcm)

·    Chứng minh rằng: AC.BE=BC.AE.

Ta có: NDB^=12sdNB⏜, ADN^=12sdNA⏜( hai góc NDB^vàADN^ là hai góc nội tiếp đường tròn (O;R)). Mà NA⏜=NB⏜⇒NDB^=ADN^

                        ⇒DN là tia phân giác của góc ADB^.

                        ⇒AEEB=DADB ( tính chất tia phân giác) (1)

                        Mặt khác: MDN^=90∘(chứng minh trên) ⇒ND⊥DC⇒MDA^+ADN^=CDB^+BDN^=90∘

                        mà  NDB^=ADN^(chứng minh trên) ⇒BDC^=ADM^, ADM^=CDx^(đối đỉnh)

                        ⇒BDC^=CDx^⇒DClà tia phân giác ngoài của góc ADB^

                        ⇒ACBC=DADB ( tính chất tia phân giác) (2)

                        Từ (1),(2) ⇒ACBC=AEEB⇒AC.BE=BC.AE (đpcm)