a) Do ∆ABC vuông tại B nên \(\widehat {ABC} = 90^\circ .\)

Ta có: \(\widehat {ABD} = \widehat {ABC} + \widehat {tBC} = 90^\circ + 30^\circ = 120^\circ .\)

Xét ∆ABD có \(\widehat {ABD} + \widehat {BDA} + \widehat {DAB} = 180^\circ \) (tổng ba góc của một tam giác).

Suy ra \[\widehat {BDA} = 180^\circ - \widehat {ABD} - \widehat {DAB} = 180^\circ - 120^\circ - 30^\circ = 30^\circ .\]

Do đó \(\widehat {BAD} = \widehat {BDA}\,\,\left( { = 30^\circ } \right)\) nên ∆ABD cân tại B.

b) Vì ∆ABD cân tại B (câu a) nên BD = BA = 6 cm.

Kẻ DH ⊥ AB, H ∈ AB.

Mà BC ⊥ AB nên CB // DH, do đó \(\widehat {BDH} = \widehat {tBC} = 30^\circ .\)

Xét ∆BDH vuông tại H, ta có:

\(DH = BD \cdot \cos \widehat {BDH} = 6 \cdot \cos 30^\circ = 6 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} = 3\sqrt 3 {\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)

Vậy khoảng cách từ D đến đường thẳng AB bằng \(3\sqrt 3 \) cm.