a) Xét ∆BXI vuông tại X có đường tròn ngoại tiếp tam giác này có tâm là trung điểm của cạnh huyền BI. Do đó ba điểm B, X, I cùng nằm trên đường tròn đường kính BI.

Xét ∆BFI vuông tại X có đường tròn ngoại tiếp tam giác này có tâm là trung điểm của cạnh huyền BI. Do đó ba điểm B, F, I cùng nằm trên đường tròn đường kính BI.

Xét ∆BDI vuông tại X có đường tròn ngoại tiếp tam giác này có tâm là trung điểm của cạnh huyền BI. Do đó ba điểm B, D, I cùng nằm trên đường tròn đường kính BI.

Do đó 5 điểm D, B, X, F, I cùng nằm trên đường tròn đường kính BI, nên tứ giác DBXF là tứ giác nội tiếp.

Chứng minh tương tự, ta cũng có 5 điểm D, C, Y, E, I cùng nằm trên đường tròn đường kính CI, nên tứ giác DCYE là tứ giác nội tiếp.

b) * Chứng minh tương tự câu a, ta có bốn điểm B, X, Y, C cùng nằm trên đường tròn đường kính BC nên tứ giác BXYC là tứ giác nội tiếp.

Suy ra \(\widehat {YXC} = \widehat {YBC}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CY). (1)

Ta có tứ giác BXFI là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính BI nên \(\widehat {FXI} = \widehat {FBI}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung FI). (2)

Mặt khác, tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I) nên BI là đường phân giác của góc ABC, do đó \(\widehat {ABI} = \widehat {IBC}\) hay \(\widehat {FBI} = \widehat {YBC}.\) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\widehat {YXC} = \widehat {FXI}\) hay \(\widehat {YXC} = \widehat {FXC},\) do đó ba điểm X, F, Y thẳng hàng. (4)

* Chứng minh tương tự như trên, ta cũng có: \(\widehat {XYB} = \widehat {XCB};\) \(\widehat {EYI} = \widehat {ECI};\) \(\widehat {ECI} = \widehat {XCB}.\)

Suy ra \[\widehat {XYB} = \widehat {EYI}\] hay \[\widehat {XYB} = \widehat {EYB}\] nên ba điểm X, E, Y thẳng hàng. (5)

Từ (4) và (5) suy ra bốn điểm X, Y, E, F thẳng hàng.